极限

术语“极限”涉及数学几个不同分支中的许多主题。

序列 在 拓扑空间 中被称为具有极限 ，前提是对于 的每个邻域 ，存在一个自然数 ，使得对于所有 ，。如果 是一个度量空间，则这种非常通用的定义可以被专门化，此时人们说 中的序列 具有极限 ，如果对于所有 ，存在一个自然数 使得

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对于所有 。在许多常见情况下，极限是唯一的，因此人们说 是 的极限，并写成

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另一方面，来自度量空间 的元素序列可能具有多个 - 甚至无限多个 - 不同的极限，前提是 配备了不为 T2 的拓扑。表达式 (1) 读作“当 趋近于无穷大时， 的极限是 。”

拓扑收敛的概念可以重写以适应更广泛的拓扑空间 ，通过使用 网 的语言。 特别是，如果 是从 有向集 到 的网，则元素 被称为 的极限，当且仅当对于 的每个邻域 ， 最终在 中，即，如果存在一个 使得，对于每个 且 ，点 位于 中。这个概念特别适用于非 第一可数 的拓扑空间。

如果对于所有 ，存在一个 使得当 时，，则称函数 具有有限极限 。这种形式的定义有时被称为 epsilon-delta 定义。这也可以适用于无限极限的情况：当 趋近于 时， 的极限等于 （或 ），如果对于每个数 （或 ），存在一个取决于 的数 ，使得当 时， （或 ）。可以进行类似的调整来定义函数 在 时的极限。

极限可以从下方取

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或从上方取

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如果两者相等，则称“极限”存在

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表达式 (2) 读作“当 从左侧/下方趋近于 时的极限”或“当 增加到 时的极限”，而 (3) 读作“当 从右侧/上方趋近于 时的极限”或“当 减小到 时的极限”。在 (4) 中，人们简单地指“当 趋近于 时的极限”。

极限在 Wolfram 语言 中实现为极限[f, x-> x0]。此命令还接受选项Direction（可以设置为任何复数方向，包括例如 , ,I, 和-I），以及Analytic，它计算函数的符号极限。

请注意，极限的函数定义可以被认为是序列定义的自然推广，因为拓扑空间 中的序列 无非是一个函数 ，将 映射到 。

下极限

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被称为存在，如果对于每个 ，对于无限多个 值， 成立，并且如果没有任何小于 的数具有此属性。

上极限

(7)

被称为存在，如果对于每个 ，对于无限多个 值， 成立，并且如果没有任何大于 的数具有此属性。

相关概念包括 上确界极限 和 下确界极限。

不定型 极限形式，如 和 类型，通常可以用 洛必达法则 计算。 类型可以通过写作转换为 形式

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类型 、 和 通过引入因变量来处理

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因此

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然后计算 lim 。原始极限等于 ,

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不定型 形式 也经常遇到。

所有上述概念都可以通过使用 超滤子 的语言进一步推广。特别是，如果 是一个拓扑空间，并且如果 是 上的超滤子，则元素 被称为 的极限，如果 的每个邻域都属于 。一些作者也定义了关于 滤子 的类似概念（Stadler 和 Stadler 2002）。

1996 年 6 月 2 日比尔·阿门德创作的漫画《FoxTrot》（Amend 1998，第 19 页；Mitchell 2006/2007）以以下极限问题为特色，这是一个针对补习数学课的“难题”，但意外地发给了普通班级

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