斯特林近似 -- 来自 Wolfram MathWorld

斯特林近似

斯特林近似给出了阶乘函数或伽玛函数在时的近似值。对于整数，最简单的推导近似的方法是将阶乘项的总和用积分来近似，因此：

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			(2)
			(3)
			(4)
			(5)
			(6)

这个方程也可以使用阶乘的积分定义来推导：

(7)

注意，被积函数对数的导数可以写成

(8)

被积函数是尖峰的，其贡献仅在附近重要。因此，设其中，并写成

			(9)
			(10)

现在，

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			(12)
			(13)

因此

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			(15)
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对两边取指数得到

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代入的积分表达式得到

			(19)
			(20)

计算积分得到

			(21)
			(22)

（Wells 1986，第 45 页）。对两边取对数得到

			(23)
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这是斯特林级数，仅保留了第一项，对于大的，它简化为斯特林近似

(25)

取的连续项，其中是向下取整函数，得到序列 1, 2, 4, 10, 26, 64, 163, 416, 1067, 2755, ... (OEIS A055775)。

斯特林近似可以扩展到双重不等式

(26)

（Robbins 1955, Feller 1968）。

Gosper 指出，的一个更好的近似值（即，一个近似斯特林级数中的项而不是截断它们的近似值）由下式给出：

(27)

考虑到是一个实数，使得，方程 (27) 也给出了 0 的阶乘的更接近的近似值，得到而不是用传统的斯特林近似得到的 0。

另请参阅

Binet 对数伽玛公式, 阶乘, 伽玛函数, 对数伽玛函数, 斯特林级数

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参考文献

Feller, W. "斯特林公式。" §2.9 in 概率论及其应用导论，第 1 卷，第 3 版 New York: Wiley, pp. 50-53, 1968.Havil, J. 伽玛：探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 86-88, 2003.Robbins, H. "关于斯特林公式的评论。" Amer. Math. Monthly 62, 26-29, 1955.Sloane, N. J. A. Sequence A055775 in "整数数列线上百科全书."Stirling, J. Methodus differentialis, sive tractatus de summation et interpolation serierum infinitarium. London, 1730. English translation by Holliday, J. 微分方法：关于无穷级数求和与插值的论述。 1749.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的数字词典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 45, 1986.Whittaker, E. T. and Robinson, G. "阶乘的斯特林近似。" §70 in 观测演算：数值数学论述，第 4 版。 New York: Dover, pp. 138-140, 1967.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

斯特林近似

请引用为

Weisstein, Eric W. "斯特林近似。" 来自 MathWorld—— Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/StirlingsApproximation.html

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