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斯特林近似

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斯特林近似给出了阶乘函数 n! 或伽玛函数 Gamma(n) 在 n>>1 时的近似值。对于整数 n，最简单的推导近似的方法是将阶乘项的总和用积分来近似，因此：

lnn!=ln1+ln2+...+lnn
(1)
=sum_(k=1)^(n)lnk
(2)
approx int_1^nlnxdx
(3)
=[xlnx-x]_1^n
(4)
=nlnn-n+1
(5)
approx nlnn-n.
(6)

这个方程也可以使用阶乘的积分定义来推导：

n!=int_0^inftye^(-x)x^ndx.
(7)

注意，被积函数对数的导数可以写成

d/(dx)ln(e^(-x)x^n)=d/(dx)(nlnx-x)=n/x-1.
(8)

被积函数是尖峰的，其贡献仅在 x=n 附近重要。因此，设 x=n+xi 其中 xi<<n，并写成

ln(x^ne^(-x))=nlnx-x
(9)
=nln(n+xi)-(n+xi).
(10)

现在，

ln(n+xi)=ln[n(1+xi/n)]
(11)
=lnn+ln(1+xi/n)
(12)
=lnn+xi/n-1/2(xi^2)/(n^2)+...,
(13)

因此

ln(x^ne^(-x))=nln(n+xi)-(n+xi)
(14)
=nlnn+xi-1/2(xi^2)/n-n-xi+...
(15)
=nlnn-n-(xi^2)/(2n)+....
(16)

对两边取指数得到

x^ne^(-x) approx e^(nlnn)e^(-n)e^(-xi^2/2n)
(17)
=n^ne^(-n)e^(-xi^2/2n).
(18)

代入 n! 的积分表达式得到

n! approx int_(-n)^inftyn^ne^(-n)e^(-xi^2/2n)dxi
(19)
approx n^ne^(-n)int_(-infty)^inftye^(-xi^2/2n)dxi.
(20)

计算积分得到

n! approx n^ne^(-n)sqrt(2pin)
(21)
=sqrt(2pi)n^(n+1/2)e^(-n)
(22)

（Wells 1986，第 45 页）。对两边取对数得到

lnn! approx nlnn-n+1/2ln(2pin)
(23)
=(n+1/2)lnn-n+1/2ln(2pi).
(24)

这是斯特林级数，仅保留了第一项，对于大的 n，它简化为斯特林近似

lnn! approx nlnn-n.
(25)

取 |_n^n/n!_| 的连续项，其中 |_x_| 是向下取整函数，得到序列 1, 2, 4, 10, 26, 64, 163, 416, 1067, 2755, ... (OEIS A055775)。

斯特林近似可以扩展到双重不等式

sqrt(2pi)n^(n+1/2)e^(-n+1/(12n+1))<n!<sqrt(2pi)n^(n+1/2)e^(-n+1/(12n))
(26)

（Robbins 1955, Feller 1968）。

Gosper 指出，n! 的一个更好的近似值（即，一个近似斯特林级数中的项而不是截断它们的近似值）由下式给出：

n! approx sqrt((2n+1/3)pi)n^ne^(-n).
(27)

考虑到 n 是一个实数，使得 lim_(n->0)n^n=1，方程 (27) 也给出了 0 的阶乘 0!=1 的更接近的近似值，得到 sqrt(pi/3) approx 1.02333 而不是用传统的斯特林近似得到的 0。

另请参阅

Binet 对数伽玛公式, 阶乘, 伽玛函数, 对数伽玛函数, 斯特林级数

使用 探索

参考文献

Feller, W. "斯特林公式。" §2.9 in 概率论及其应用导论，第 1 卷，第 3 版 New York: Wiley, pp. 50-53, 1968.Havil, J. 伽玛：探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 86-88, 2003.Robbins, H. "关于斯特林公式的评论。" Amer. Math. Monthly 62, 26-29, 1955.Sloane, N. J. A. Sequence A055775 in "整数数列线上百科全书."Stirling, J. Methodus differentialis, sive tractatus de summation et interpolation serierum infinitarium. London, 1730. English translation by Holliday, J. 微分方法：关于无穷级数求和与插值的论述。 1749.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的数字词典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 45, 1986.Whittaker, E. T. and Robinson, G. "阶乘的斯特林近似。" §70 in 观测演算：数值数学论述，第 4 版。 New York: Dover, pp. 138-140, 1967.

在 中被引用

斯特林近似

请引用为

Weisstein, Eric W. "斯特林近似。" 来自 —— 资源。 https://mathworld.net.cn/StirlingsApproximation.html

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