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e 连分数

e continued fraction binary plot

e 的简单连分数表示形式为 [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] (OEIS A003417)。此连分数有时被称为欧拉连分数。上方显示了表示为二进制位序列的连分数前 256 项的图。

收敛项可以闭合形式表示为第一类合流超几何函数的比率 (Komatsu 2007ab)，前几项为 2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, ... (OEIS A007676 和 A007677)。 它们的精度分别为 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, ... (OEIS A114539) 位十进制数字。

其他连分数表示形式有

(e-1)/(e+1)=[0;2,6,10,14,...]
(1)
e-1=[1;1,2,1,1,4,1,1,6,...]
(2)
1/2(e-1)=[0;1,6,10,14,...]
(3)

(Olds 1963, pp. 135-136)。 令人惊讶的是，不仅 e 的连分数，而且 e 的有理次幂的连分数也显示出规律性，例如

e^(1/2)=[1,1,1,1,5,1,1,9,1,1,13,...]
(4)
e^(1/3)=[1,2,1,1,8,1,1,14,1,1,20,...]
(5)
e^(1/4)=[1,3,1,1,11,1,1,19,1,1,27,...]
(6)
e^(1/5)=[1,4,1,1,14,1,1,24,1,1,34,...].
(7)

e 的一个优美的非简单连分数由下式给出

e=2+1/(1+1/(2+2/(3+3/...)))
(8)

(Wall 1948, p. 348)。

EKhinchinLevy

设 e 的连分数表示为 [a_0;a_1,a_2,...]，并设收敛项的分母表示为 q_1, q_2, ..., q_n。 然后，上面的图表显示了 a_1^(1/1), (a_1a_2)^(1/2), ..., (a_1a_2...a_n)^(1/n) (左图) 和 q_n^(1/n) (右图) 的连续值。 从图中可以看出，e 的连分数的规律性意味着 e 是一组测度为 0 的数字之一，它们的连分数序列不收敛于辛钦常数或莱维常数。

e 有一个非常规则的 Engel 展开式，即 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... (OEIS A000027)。

另请参阅

e, e 的数字, 欧拉连分数

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参考文献

Cohn, H. "A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e." Amer. Math. Monthly 113, 57-62, 2006.Komatsu, T. "Some Combinatorial Properties of the Leaping Convergents." Integers: Elec. J. Combin. Num. Th. 7, 1-10, 2007a.Komatsu, T. "Some Combinatorial Properties of the Leaping Convergents." In Proceedings of the Integers Conference 2005 in celebration of the 70th birthday of Ronald Graham held at the University of West Georgia, Carrollton, GA, October 27-30, 2005 (Ed. B. Landman, M. B. Nathanson, J. Nesetril, R. J. Nowakowski, and C. Pomerance). Berlin: de Gruyter, pp. 315-325, 2007b.Olds, C. D. Continued Fractions. New York: Random House, 1963.Olds, C. D. "The Simple Continued Fraction Expression of e." Amer. Math. Monthly 77, 968-974, 1970.Sloane, N. J. A. Sequences A000027/M0472, A003417/M0088, A007676/M0869, A007677/M2343, and A114539 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wall, H. S. Analytic Theory of Continued Fractions. New York: Chelsea, 1948.

请引用为

Weisstein, Eric W. "e 连分数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/eContinuedFraction.html

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