泰勒级数 -- 来自 Wolfram MathWorld

泰勒级数是关于某点的级数展开，展开对象为函数。一维泰勒级数是实函数关于点的展开，由下式给出：

(1)

如果，则该展开式被称为麦克劳林级数。

泰勒定理（实际上由格雷戈里首先发现）指出，任何满足特定条件的函数都可以表示为泰勒级数。

函数关于点直到阶的泰勒（或更一般的）级数可以使用以下方法找到：级数[f, x, a, n]。函数的泰勒级数的第项可以使用 Wolfram 语言计算，方法是：SeriesCoefficient[f, x, a, n] 并由逆 Z 变换给出

(2)

一些常见函数的泰勒级数包括：

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

为了推导函数的泰勒级数，请注意的第 (+1) 阶导数从点到任意点的积分由下式给出：

(9)

其中是在处计算的第阶导数，因此只是一个常数。现在再次积分以获得：

int_(x_0)^x[int_(x_0)^xf^((n+1))(x)dx]dx
=int_(x_0)^x[f^((n))(x)-f^((n))(x_0)]dx
=[f^((n-1))(x)]_(x_0)^x-(x-x_0)f^((n))(x_0)
=f^((n-1))(x)-f^((n-1))(x_0)-(x-x_0)f^((n))(x_0),

(10)

其中再次是一个常数。第三次积分，

int_(x_0)^xint_(x_0)^xint_(x_0)^xf^((n+1))(x)(dx)^3=f^((n-2))(x)-f^((n-2))(x_0)
-(x-x_0)f^((n-1))(x_0)-((x-x_0)^2)/(2!)f^((n))(x_0),

(11)

并继续进行直到次积分，然后得到：

int...int_(x_0)^x_()_(n+1)f^((n+1))(x)(dx)^(n+1)=f(x)-f(x_0)-(x-x_0)f^'(x_0)
-((x-x_0)^2)/(2!)f^('')(x_0)-...-((x-x_0)^n)/(n!)f^((n))(x_0).

(12)

重新排列后得到一维泰勒级数：

			(13)
			(14)

这里，是一个余项，称为拉格朗日余项，由下式给出：

(15)

重写重复积分，然后得到：

(16)

现在，根据函数的均值定理，必须为真：

(17)

对于某些在 [,x] 中。因此，积分次得到结果：

(18)

（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 880 页），因此泰勒级数的项后的最大误差是 (18) 在所有 in [,x] 中运行的最大值。请注意，当泰勒级数中取到 (-1) 次幂项时，拉格朗日余项有时也指余项（Whittaker 和 Watson 1990，第 95-96 页）。

泰勒级数也可以为复变量函数定义。根据柯西积分公式，

			(19)
			(20)
			(21)

在的内部，

(22)

所以，使用

(23)

由此得出：

			(24)
			(25)

使用导数的柯西积分公式，

(26)

一维泰勒级数的另一种形式可以通过令

(27)

这样：

(28)

将此结果代入 (◇) 得到：

(29)

双变量实函数的泰勒级数由下式给出：

(30)

这可以进一步推广到个变量的实函数：

$f(x_1,...,x_n)=sum_(j=0)^infty{1/(j!)[sum_(k=1)^n(x_k-a_k)partial/(partialx_k^')]^jf(x_1^',...,x_n^')}_(x_1^'=a_1,...,x_n^'=a_n).$

(31)

重写：

$f(x_1+a_1,...,x_n+a_n)=sum_(j=0)^infty{1/(j!)(sum_(k=1)^na_kpartial/(partialx_k^'))^jf(x_1^',...,x_n^')}_(x_1^'=x_1,...,x_n^'=x_n).$

(32)

例如，在 (31) 中取得到：

$f(x_1,x_2)=sum_(j=0)^(infty){1/(j!)[(x_1-a_1)partial/(partialx_1^')+(x_2-a_2)partial/(partialx_2^')]^jf(x_1^',x_2^')}_(x_1^'=a_1,x_2^'=a_2)$	(33)
	(34)

在 (32) 中取得到：

$f(x_1+a_1,x_2+a_2,x_3+a_3) =sum_(j=0)^infty{1/(j!)(a_1partial/(partialx_1^')+a_2partial/(partialx_2^')+a_3partial/(partialx_3^'))^jf(x_1^',x_2^',x_3^')}_(x_1^'=x_1,x_2^'=x_2,x_3^'=x_3),$

(35)

或者，以向量形式：

(36)

零阶和一阶项分别是和。二阶项是：

			(37)
			(38)

所以展开式的前几项是：

(39)

泰勒级数

另请参阅

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考资料

在 Wolfram|Alpha 上引用

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