二重级数

二重和是一个级数，其项取决于两个索引，

(1)

有限二重级数可以写成级数的乘积

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无限二重级数可以用单级数表示

(6)

通过如下重新排序，

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存在许多简单的二重级数无法解析计算的例子，例如 Erdős-Borwein 常数

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(OEIS A065442)，其中是一个 q-多伽玛函数。

另一个级数是

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(OEIS A091349)，其中是一个调和数，而是单位根的立方根。

一个可以解析完成的二重级数由下式给出

(16)

其中是 Riemann zeta 函数 zeta(2) (B. Cloitre, 私人通信，12 月 9 日，2004 年)。

二重级数

(17)

可以通过交换和并取平均值来计算，

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			(20)
			(21)

(Borwein et al. 2004, p. 54)。

涉及二重和的恒等式包括以下内容

(22)

其中

$|_r/2_|={1/2r r even; 1/2(r-1) r odd$

(23)

是向下取整函数，以及

(24)

考虑级数

(25)

在二元二次型上，其中素数表示对所有和的对求和，但不包括项。如果可以分解为 Dirichlet L-级数乘积的线性和，则称其为可解的。相关的和

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也可以定义，这产生了令人印象深刻的公式，例如

(29)

(Glasser 和 Zucker 1980)。Glasser 和 Zucker（1980，pp. 126-131）给出了所有可解的主要解的完整表格。

格和可以分成两部分，

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其中是 Dirichlet eta 函数。使用格和的解析形式

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			(35)

其中是 Dirichlet beta 函数，给出了和

			(36)
			(37)

Borwein 和 Borwein（1987，p. 291）表明，对于 ,

			(38)
			(39)

其中是 Riemann zeta 函数，对于适当的 ,

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			(43)
			(44)
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(Borwein 和 Borwein 1987, p. 305)。

另一个二重级数约简由下式给出

(46)

其中表示任何函数 (Glasser 1974)。

另请参阅

Euler Sum，格和，马德隆常数，多重级数，多元 Zeta 函数，级数，三重级数， Weierstrass 二重级数定理

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更多尝试

参考文献

Borwein, J.; Bailey, D.; 和 Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Glasser, M. L. "Reduction Formulas for Multiple Series." Math. Comput. 28, 265-266, 1974.Glasser, M. L. 和 Zucker, I. J. "Lattice Sums." In Perspectives in Theoretical Chemistry: Advances and Perspectives, Vol. 5 (Ed. H. Eyring). New York: Academic Press, pp. 67-139, 1980.Hardy, G. H. "On the Convergence of Certain Multiple Series." Proc. London Math. Soc. 2, 24-28, 1904.Hardy, G. H. "On the Convergence of Certain Multiple Series." Proc. Cambridge Math. Soc. 19, 86-95, 1917.Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "Double Series." §1.053 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 16-17, 1988.Meyer, B. "On the Convergence of Alternating Double Series." Amer. Math. Monthly 60, 402-404, 1953.Móricz, F. "Some Remarks on the Notion of Regular Convergence of Multiple Series." Acta Math. Hungar. 41, 161-168, 1983.Sloane, N. J. A. Sequences A065442 和 A091349 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wilansky, A. "On the Convergence of Double Series." Bull. Amer. Math. Soc. 53, 793-799, 1947.Zucker, I. J. 和 Robertson, M. M. "Some Properties of Dirichlet