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收敛性改进

级数收敛性质的改进，也称为加速收敛，使得级数达到其极限所需的项数比之前更少，以达到一定的精度。收敛性改进可以通过与已知和的级数形成线性组合来实现。有用的和包括

sum_(n=1)^(infty)1/(n(n+1))=1
(1)
sum_(n=1)^(infty)1/(n(n+1)(n+2))=1/4
(2)
sum_(n=1)^(infty)1/(n(n+1)(n+2)(n+3))=1/(18)
(3)
sum_(n=1)^(infty)1/(n(n+1)...(n+p))=1/(p·p!).
(4)

库默尔变换采用一个收敛级数

s=sum_(k=0)^inftya_k
(5)

和另一个收敛级数

c=sum_(k=0)^inftyc_k
(6)

已知 c 使得

lim_(k->infty)(a_k)/(c_k)=lambda!=0.
(7)

那么，一个更快收敛到相同值的级数由下式给出

s=lambdac+sum_(k=0)^infty(1-lambda(c_k)/(a_k))a_k
(8)

（Abramowitz 和 Stegun 1972）。

欧拉变换将一个收敛的交替级数

sum_(k=0)^infty(-1)^ka_k=a_0-a_1+a_2-...
(9)

转换为一个更快收敛到相同值的级数

s=sum_(k=0)^infty((-1)^kDelta^ka_0)/(2^(k+1)),
(10)

其中

Delta^ka_0=sum_(m=0)^k(-1)^m(k; m)a_(k-m)
(11)

（Abramowitz 和 Stegun 1972；Beeler等人 1972）。

一种可以用来加速级数收敛的通用技术是在无穷远处将它们展开为泰勒级数，并交换求和顺序。在可以找到泰勒级数的符号形式的情况下，这有时甚至允许对原始变量的求和进行符号化。例如，考虑和的情况

c=sum_(k=2)^infty1/kln(k/(k-1))=0.7885305659115...
(12)

（OEIS A085361），它出现在Alladi-Grinstead 常数的定义中。被加数可以在无穷远处展开得到

c=sum_(k=2)^(infty)k^(-2)+1/2k^(-3)+1/3k^(-4)+...
(13)
=sum_(k=2)^(infty)sum_(n=1)^(infty)1/(nk^(n+1)).
(14)

然后交换求和顺序得到

c=sum_(n=1)^(infty)sum_(k=2)^(infty)1/(nk^(n+1))
(15)
=sum_(n=1)^(infty)(zeta(n+1)-1)/n,
(16)

其中 zeta(n) 是 黎曼zeta函数，它收敛得更快。

形式为

T(S_n)=(S_(n+1)S_(n-1)-S_n^2)/(S_(n+1)-2S_n+S_(n-1)),
(17)

其中

S_n=sum_(k=0)^na_k,
(18)

的变换是序列 {a_k}_(k=0)^infty 的第 n 个部分和，通常可用于改善级数收敛性（Hamming 1986，第 205 页）。特别是，T(S_n) 可以写成

T(S_n)=((S_n+a_(n+1))(S_n-a_n)-S_n^2)/(S_n+a_(n+1)-2S_n+S_n-a_n)
(19)
=S_n+(a_na_(n+1))/(a_n-a_(n+1)).
(20)

这种变换的应用可以使用 Wynn epsilon 方法 有效地执行。令 epsilon_0(S_n)=S_n， epsilon_(-1)(S_n)=0，以及

epsilon_(r+1)(S_n)=epsilon_(r-1)(S_(n+1))+1/(epsilon_r(S_(n+1))-epsilon_r(S_n))
(21)

对于 r=1、2、...（更正了 Hamming 1986，第 206 页的排印错误）。epsilon_(2k)(S_n) 的值相当于对序列 S_n 应用 k 次变换的结果（Hamming 1986，第 206 页）。

给定一个形式为

S=sum_(n=1)^inftyf(1/n),
(22)

的级数，其中 f(z) 是在 0 和闭单位圆盘上的解析函数，并且

f(z)|_(z->0)=O(z^2),
(23)

那么，该级数可以重新排列为

S=sum_(n=1)^(infty)sum_(m=2)^(infty)f_m(1/n)^m
(24)
=sum_(m=2)^(infty)sum_(n=1)^(infty)f_m(1/n)^m
(25)
=sum_(m=2)^(infty)f_mzeta(m),
(26)

其中

f(z)=sum_(m=2)^inftyf_mz^m
(27)

是 f 的 麦克劳林级数，而 zeta(z) 是 黎曼zeta函数（Flajolet 和 Vardi 1996）。变换后的级数表现出几何收敛性。类似地，如果 f(z) 在 |z|<=1/n_0 中是解析的，对于某个正整数 n_0，则

S=sum_(n=1)^(n_0-1)f(1/n)+sum_(m=2)^inftyf_m[zeta(m)-1/(1^m)-...-1/((n_0-1)^m)],
(28)

它几何收敛（Flajolet 和 Vardi 1996）。方程 (28) 也可以用来进一步加速级数的收敛 (◇)。

参见

欧拉变换，菱形算法，Wilf-Zeilberger 对，Wynn epsilon 方法

使用 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, p. 16, 1972.Arfken, G. 物理学家数学方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 288-289, 1985.Beeler 等人. 项目 120，载于 Beeler, M.; Gosper, R. W.; 和 Schroeppel, R. HAKMEM。 Cambridge, MA: MIT 人工智能实验室，备忘录 AIM-239, p. 55, 1972 年 2 月。 http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/series.html#item120.Flajolet, P. 和 Vardi, I. "经典常数的 Zeta 函数展开。" 未出版的手稿。1996. http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.Hamming, R. W. 科学家和工程师数值方法，第 2 版。 New York: Dover, pp. 206-207, 1986.Shanks, D. "发散和慢收敛序列的非线性变换。" J. Math. Phys. 34, 1-42, 1955.Sloane, N. J. A. 序列 A085361，载于 "整数序列在线百科全书"。

在 上被引用

收敛性改进

引用为

Weisstein, Eric W. "收敛性改进。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ConvergenceImprovement.html

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