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Riemann 级数定理

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通过对项进行适当的重排，一个条件收敛级数可以被调整为收敛到任何期望的值，或者发散。

例如，

S=1-1/2+1/3-1/4+1/5+...
(1)
=sum_(k=1)^(infty)((-1)^(k+1))/k
(2)
=ln2,
(3)

收敛到 ln2，但是相同的级数可以被重排为

S^'=(1-1/2-1/4)+(1/3-1/6-1/8)+(1/5-1/(10)-1/(12))+...
(4)
=sum_(k=1)^(infty)(1/(2k-1)-1/(4k-2)-1/(4k))
(5)
=sum_(k=1)^(infty)1/(4k(2k-1))
(6)
=1/2ln2,
(7)

所以现在级数收敛到自身的一半。

另请参阅

条件收敛, 发散级数

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参考文献

Bromwich, T. J. I'A. and MacRobert, T. M. An Introduction to the Theory of Infinite Series, 3rd ed. New York: Chelsea, p. 74, 1991.Gardner, M. Martin Gardner's Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. New York: Scribner's, p. 171, 1971.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 102, 2003.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Riemann 级数定理

引用为

Weisstein, Eric W. "Riemann 级数定理。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/RiemannSeriesTheorem.html

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