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算术级数

算术级数是一个和，它是一序列 {a_k}, k=1, 2, ..., 的各项之和，其中每一项是通过在前一项上加上（或减去）一个常数 d 来计算的。因此，对于 k>1，

a_k=a_(k-1)+d=a_(k-2)+2d=...=a_1+d(k-1).
(1)

前 n 项的序列之和由下式给出

S_n=sum_(k=1)^(n)a_k
(2)
=sum_(k=1)^(n)[a_1+(k-1)d]
(3)
=na_1+dsum_(k=1)^(n)(k-1)
(4)
=na_1+dsum_(k=2)^(n)(k-1)
(5)
=na_1+dsum_(k=1)^(n-1)k.
(6)

使用求和恒等式

sum_(k=1)^nk=1/2n(n+1)
(7)

然后得到

S_n=na_1+1/2dn(n-1)=1/2n[2a_1+d(n-1)].
(8)

然而，请注意

a_1+a_n=a_1+[a_1+d(n-1)]=2a_1+d(n-1),
(9)

所以

S_n=1/2n(a_1+a_n),
(10)

或者说是首项和末项的算术平均值的 n 倍！这是高斯还是个小学生时用来解决老师布置的作业：计算从 1 到 100 的整数之和的技巧。当他的同学们埋头苦干地进行加法运算时，高斯写下了一个数字，即正确的答案

1/2(100)(1+100)=50·101=5050
(11)

在他的石板上 (Burton 1989, pp. 80-81; Hoffman 1998, p. 207)。当答案被检查时，证明高斯的答案是唯一正确的。

另请参阅

等差数列, 公差, 几何级数, 调和级数, 素数等差数列 在 MathWorld 课堂中探索这个主题

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 10, 1972.Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 8, 1987.Burton, D. M. Elementary Number Theory, 4th ed. Boston, MA: Allyn and Bacon, 1989.Courant, R. and Robbins, H. "The Arithmetical Progression." §1.2.2 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 12-13, 1996.Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, 1998.Pappas, T. The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 164, 1989.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

算术级数

引用为

Weisstein, Eric W. "算术级数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ArithmeticSeries.html

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