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级数反演

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级数反演是计算给定原函数的系数时，反函数的系数。对于以级数形式表示的函数且没有常数项（即，a_0=0）如下：

y=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...,
(1)

反向级数的级数展开由下式给出：

x=A_1y+A_2y^2+A_3y^3+....
(2)

通过将 (2) 代入 (1)，得到以下方程：

y=a_1A_1y+(a_2A_1^2+a_1A_2)y^2+(a_3A_1^3+2a_2A_1A_2+a_1A_3)y^3+(3a_3A_1^2A_2+a_2A_2^2+a_2A_1A_3)+....
(3)

然后，等同系数给出：

A_1=a_1^(-1)
(4)
A_2=-a_1^(-3)a_2
(5)
A_3=a_1^(-5)(2a_2^2-a_1a_3)
(6)
A_4=a_1^(-7)(5a_1a_2a_3-a_1^2a_4-5a_2^3)
(7)
A_5=a_1^(-9)(6a_1^2a_2a_4+3a_1^2a_3^2+14a_2^4-a_1^3a_5-21a_1a_2^2a_3)
(8)
A_6=a_1^(-11)(7a_1^3a_2a_5+7a_1^3a_3a_4+84a_1a_2^3a_3-a_1^4a_6-28a_1^2a_2a_3^2-42a_2^5-28a_1^2a_2^2a_4)
(9)
A_7=a_1^(-13)(8a_1^4a_2a_6+8a_1^4a_3a_5+4a_1^4a_4^2+120a_1^2a_2^3a_4+180a_1^2a_2^2a_3^2+132a_2^6-a_1^5a_7-36a_1^3a_2^2a_5-72a_1^3a_2a_3a_4-12a_1^3a_3^3-330a_1a_2^4a_3)
(10)

(Dwight 1961, Abramowitz and Stegun 1972, p. 16)。

级数反演在 Wolfram 语言中实现为：InverseSeries[s, x]，其中 s 被给出为一个SeriesData对象。例如，要获得上面显示的项，

  With[{n = 7},
    CoefficientList[
      InverseSeries[SeriesData[x, 0, Array[a, n],
        1, n + 1, 1]],
    x]
  ]

Morse 和 Feshbach (1953) 给出了第 n 项的显式公式的推导，

A_n=1/(na_1^n)sum_(s,t,u,...)(-1)^(s+t+u+...)(n(n+1)...(n-1+s+t+u+...))/(s!t!u!...)((a_2)/(a_1))^s((a_3)/(a_1))^t...,
(11)

其中

s+2t+3u+...=n-1.
(12)

另请参阅

幂级数, 级数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, 1972.Arfken, G. 物理学家的数学方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 316-317, 1985.Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 297, 1987.Dwight, H. B. 积分表和其他数学数据，第 4 版。 New York: Macmillan, 1961.Morse, P. M. and Feshbach, H. 理论物理学方法，第一部分。 New York: McGraw-Hill, pp. 411-413, 1953.Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. 整数序列百科全书。 San Diego, CA: Academic Press, p. 22, 1995.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

级数反演

引用为

Weisstein, Eric W. “级数反演。” 来自 MathWorld—— Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/SeriesReversion.html

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