洛朗级数

如果 在以 为中心，半径分别为 和 的同心圆 和 之间的环形区域内和上解析，则存在唯一的以 的正负幂表示的级数展开，

(1)

其中

			(2)
			(3)

(Korn and Korn 1968, pp. 197-198)。

假设有两个圆形轮廓 和 ，其中 的半径大于 的半径。设 位于 和 的中心，且 位于 和 之间。现在创建一条切割线 在 和 之间，并沿路径 积分，使得 的正负贡献相互抵消，如上图所示。来自 柯西积分公式，

			(4)
			(5)
			(6)

现在，由于来自切割线上相反方向的贡献相互抵消，

			(7)
			(8)
			(9)

对于第一个积分，。对于第二个积分，。现在使用 泰勒级数 (对 有效)

(10)

得到

			(11)
			(12)
			(13)

其中第二项已被重新索引。再次重新索引，

(14)

由于被积函数，包括函数 ，在由 和 定义的环形区域内是解析的，因此积分与该区域内的积分路径无关。如果我们将积分路径 和 替换为半径为 的圆 ，且 ，则

			(15)
			(16)
			(17)

通常，积分路径可以是任何位于环形区域内并沿正（逆时针）方向绕 一周的路径 。

因此，复残数 由下式定义

(18)

请注意，环形区域本身可以通过增加 和减小 来扩展，直到达到 的奇点，这些奇点恰好位于 之外或 之内。如果 在 内部没有奇点，则 (◇) 中的所有 项都等于零，并且 (◇) 的洛朗级数简化为具有系数 的 泰勒级数。