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伯努利数

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伯努利数 B_n 是一个有符号的有理数序列，可以通过 指数生成函数 定义

x/(e^x-1)=sum_(n=0)^infty(B_nx^n)/(n!).
(1)

这些数出现在三角函数的级数展开中，并且在 数论 和 分析 中极其重要。

实际上，伯努利数有两种定义。为了区分它们，现代用法（美国国家标准与技术研究院惯例）中定义的伯努利数写作 B_n，而在较旧的文献中遇到的伯努利数写作 B_n^*（Gradshteyn 和 Ryzhik 2000）。在每种情况下，伯努利数都是 伯努利多项式 B_n(x) 或 B_n^*(x) 的特殊情况，其中 B_n=B_n(0) 和 B_n^*=B_n^*(0)。

伯努利数和多项式不应与 贝尔数 和 贝尔多项式 混淆，后者也通常表示为 B_n 和 B_n(x)。

现代定义定义的伯努利数表示为 B_n，有时称为“偶数索引”伯努利数。这些是由 Wolfram 语言 函数返回的伯努利数，例如BernoulliB[n]。

伯努利数 B_n 可以通过 轮廓积分 定义

B_n=(n!)/(2pii)∮z/(e^z-1)(dz)/(z^(n+1)),
(2)

其中轮廓包含原点，半径小于 2pi（以避免在 +/-2pii 处的极点），并且沿逆时针方向遍历（Arfken 1985，第 413 页）。

前几个伯努利数 B_n 是

B_0=1
(3)
B_1=-1/2
(4)
B_2=1/6
(5)
B_4=-1/(30)
(6)
B_6=1/(42)
(7)
B_8=-1/(30)
(8)
B_(10)=5/(66)
(9)
B_(12)=-(691)/(2730)
(10)
B_(14)=7/6
(11)
B_(16)=-(3617)/(510)
(12)
B_(18)=(43867)/(798)
(13)
B_(20)=-(174611)/(330)
(14)
B_(22)=(854513)/(138)
(15)

（OEIS A000367 和 A002445），其中

B_(2n+1)=0
(16)

对于 n=1, 2, ....

BernoulliNumberDigits

B_n 的分子中的位数，对于 n=2, 4, ... 分别是 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 4, 5, 6, 6, 9, 7, 11, ... (OEIS A068399)，而相应分母中的位数是 1, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 1, 3, 5, 3, ... (OEIS A092904)。两者都在上面绘制。

B_(2n) 的分母由下式给出

denom(B_(2n))=product_((p-1)|(2n))p,
(17)

其中乘积取遍素数 p（Graham et al. 1994 中的例 6.54），这个结果与 von Staudt-Clausen 定理 相关。

B_(10^n) 的分子中的位数，对于 n=0, 1, ... 分别是 1, 1, 83, 1779, 27691, 376772, 4767554, 57675292, 676752609, 7767525702, ... (OEIS A103233)，而相应的分母中的位数是 1, 2, 5, 9, 13, 16, 24, ... (OEIS A114471)。B_(10^n) 的分母的值，对于 n=0, 1, ... 分别是 66, 33330, 342999030, 2338224387510, 9355235774427510, ... (OEIS A139822)。

denom(B_n)=n 仅对于 1806 成立，但对于其他 n 值不成立（Kellner 2005）。

分母的运行最大值是 1, 6, 30, 42, 66, 2730, 14322, 1919190, ... (OEIS A100194)，它们出现在 n=2, 4, 6, 8, 12, 14, 32, 38, ... (OEIS A100195)。

分母为 6 的偶数 B_n 的比例是严格正的（Jensen 1915），对于其他分母也存在类似的结果（Erdős 和 Wagstaff 1980，Moreno 和 Wagstaff 2005）。

有趣的是，伯努利数的分母等于 6 的比例高于任何其他值（Sunseri 1980），并且分母为 6 的偶数伯努利数的比例接近 1/6（Erdős 和 Wagstaff 1980）。S. Plouffe（私人通信，2 月 12 日，2007 年）计算了分母为 6 的偶数伯努利数的比例，直到 B_(5285000)，发现它是 0.1526... 并且仍然缓慢下降。

BernoulliDenominatorHistogram

分母为 6 的小于或等于 1, 10, 10^2, ... 的伯努利数的数量分别是 0, 1, 10, 87, 834, ... (OEIS A114648)，这接近 1/12=0.08333... 的十进制展开式。上面的 直方图 显示了对于索引高达 10^4 的给定分母的分数。按频率排序，前几个分母似乎是 6, 30, 42, 66, 510, ... (OEIS A114649)。

唯一已知的分子为素数的伯努利数 B_n 出现在 n=10, 12, 14, 16, 18, 36 和 42 (OEIS A092132) 时，对应于 5, -691, 7, -3617, 43867, -26315271553053477373, 和 1520097643918070802691 (OEIS A092133)，对于 n<=101000 没有其他素数 (E. W. Weisstein，2 月 27 日，2007 年)。Wagstaff 维护了一个伯努利数分子因式分解的页面。

下表总结了 nth 伯努利数 B_n 的记录计算，包括给出分子中的位数。

n分子中的位数分母日期参考文献
20000081373414977732474858443510Fee 和 Plouffe
50000022332735847115911374938025102002Plouffe (2002)
1×10^6476755493612325741112757781851012 月 16 日，2002 年Kellner
2×10^61013714796014801830165249708840202249102 月 10 日，2003 年Kellner
5×10^62733250793612325741112757781851010 月 8 日，2005 年O. Pavlyk（私人通信）
1×10^75767529296014801830165249708840202249102008 年 2 月O. Pavlyk (2008)
1×10^86767526093948153327060465420496684288414970018702008 年 10 月D. Harvey (2008)

B_(2k) (mod 1) 的 分母 由 von Staudt-Clausen 定理 给出，该定理也暗示 B_(2k) 的 分母 是 无平方因子 的（Hardy 和 Wright 1979）。另一个有趣的性质是 B_n 的 小数部分 的 十进制展开 周期整除 n，并且在该周期之前有一个数字（Conway 1996）。特别是，frac(B_n) 对于 n=2, 4, ... 的周期分别是 1, 1, 6, 1, 2, 6, 1, 16, 18, 2, 22, ... (OEIS A112828)，并且 n/frac(B_n) 的相应值是 2, 4, 1, 8, 5, 2, 14, 1, 1, 10, ... (OEIS A112829)。

考虑生成函数

F(x,t)=sum_(n=0)^infty(B_n(x)t^n)/(n!),
(18)

对于 |t|<2pi 和所有 x 一致收敛（Castellanos 1988）。取偏导数得到

(partialF(x,t))/(partialx)=sum_(n=0)^(infty)(B_(n-1)(x)t^n)/((n-1)!)
(19)
=tsum_(n=0)^(infty)(B_n(x)t^n)/(n!)
(20)
=tF(x,t).
(21)

可以使用 变量分离 找到此微分方程的解，如下所示

F(x,t)=T(t)e^(xt),
(22)

因此积分得到

int_0^1F(x,t)dx=T(t)int_0^1e^(xt)dx
(23)
=T(t)(e^t-1)/t.
(24)

但是显式地积分 (24) 得到

int_0^1F(x,t)dx=sum_(n=0)^(infty)(t^n)/(n!)int_0^1B_n(x)dx
(25)
=1+sum_(n=1)^(infty)(t^n)/(n!)int_0^1B_n(x)dx
(26)
=1,
(27)

所以

T(t)(e^t-1)/t=1.
(28)

求解 T(t) 并将其代回 (◇) 中，然后得到

(te^(xt))/(e^t-1)=sum_(n=0)^infty(B_n(x)t^n)/(n!)
(29)

（Castellanos 1988）。设置 x=0 并在两侧加上 t/2，然后得到

1/2tcoth(1/2t)=sum_(n=0)^infty(B_(2n)t^(2n))/((2n)!).
(30)

令 t=2ix，然后得到

xcotx=sum_(n=0)^infty(-1)^nB_(2n)((2x)^(2n))/((2n)!)
(31)

对于 x in [-pi,pi]。

伯努利数也可以从下式计算

B_n=lim_(x->0)(d^n)/(dx^n)x/(e^x-1).
(32)

伯努利数由双重求和给出

B_n=sum_(k=0)^n1/(k+1)sum_(r=0)^k(-1)^r(k; r)r^n,
(33)

其中 (n; k) 是一个 二项式系数。它们也满足求和

sum_(k=0)^(n-1)(n; k)B_k=0,
(34)

可以求解 B_(n-1) 以给出用于计算 B_n 的 递推关系。通过在 (34) 的两边都加上 B_n，它可以简单地写成

(B+1)^([n])=B^([n]),
(35)

其中 符号 B^([k]) 表示所讨论的量被提升到适当的 幂 k，并且所有 形式为 B^m 的项都替换为相应的伯努利数 B_m。

以及有趣的求和

sum_(k=0)^(n)(6n+3; 6k)B_(6k)=2n+1
(36)
sum_(k=0)^(n)(6n+5; 6k+2)B_(6k+2)=1/3(6n+5)
(37)
sum_(k=1)^(n)(6n+1; 6k-2)B_(6k-2)=-1/6(6n+1)
(38)

（Lehmer 1935, Carlitz 1968, Štofka 2014），以及漂亮的求和恒等式

sum_(i=0)^n((1-2^(1-i))(1-2^(i-n+1))B_(n-i)B_i)/((n-i)!i!)=((1-n)B_n)/(n!)
(39)

（Gosper）。

偶数伯努利数的 渐近级数 是

B_(2n)∼(-1)^(n-1)4sqrt(pin)(n/(pie))^(2n).
(40)

伯努利数出现在 形式为 sum_(k=1)^(n)k^p 的表达式中，其中 p=1, 2, .... 伯努利数也出现在涉及 tanx, cotx, cscx, ln|sinx|, ln|cosx|, ln|tanx|, tanhx, cothx, 和 cschx 的函数的级数展开中。

对于 偶数 阶存在解析解，

B_(2n)=((-1)^(n-1)2(2n)!)/((2pi)^(2n))sum_(p=1)^(infty)p^(-2n)
(41)
=((-1)^(n-1)2(2n)!)/((2pi)^(2n))zeta(2n)
(42)

对于 n=1, 2, ..., 其中 zeta(2n) 是 黎曼 zeta 函数。与 黎曼 zeta 函数 的另一个密切联系由恒等式提供

B_n=(-1)^(n+1)nzeta(1-n).
(43)

用 欧拉多项式 表示的积分由下式给出

B_n=(n(n-1))/(4(2^n-1))int_0^1E_(n-2)(x)dx,
(44)

其中 E_n(x) 是一个 欧拉多项式（J. Crepps，私人通信，2002 年 4 月）。

伯努利首次使用伯努利数来计算 sum_(k=1)^(n)k^p。他使用了 有形数三角形 的性质

sum_(i=0)^na_(ij)=((n+1)a_(nj))/(j+1),
(45)

以及他归纳导出的 a_(nj) 的形式来计算总和，直到 n=10（Boyer 1968，第 85 页）。对于 p in Z>0，总和由下式给出

sum_(k=1)^nk^p=((B+n+1)^([p+1])-B^([p+1]))/(p+1),
(46)

其中，符号 B^([k]) 表示所讨论的量被提升到适当的 幂 k，并且所有 形式为 B^m 的项都替换为相应的伯努利数 B_m。请注意，通常（例如，Carlitz 1965）简单地写成 (B+a)^n，并理解为展开后，B^k 被 B_k 替换。

用 幂 的和显式地写出，

sum_(k=1)^(n)k^p=n^p+1/(p+1)sum_(k=0)^(p)(p+1; k)B_kn^(p-k+1)
(47)
=1/(p+1)sum_(k=1)^(p+1)(p+1; k)(-1)^(p-k+1)B_(p-k+1)n^k
(48)
=sum_(k=1)^(p+1)b_(pk)n^k,
(49)

其中

b_(pk)=((-1)^(p-k+1)B_(p-k+1))/(p+1)(p+1; k).
(50)

取 n=1 给出了伯努利的观察，即项 b_(pk) 的 系数 总和为 1，

sum_(k=1)^(p+1)b_(pk)=1.
(51)

拉马努金给出了许多涉及伯努利数的有趣的无穷和恒等式（Berndt 1994）。

BernoulliNumberPlouffeInequality

Plouffe（私人通信，2004 年 6 月 21 日）推测，B_(4n+2) 形式的正伯努利数的 小数部分 满足 frac(B_(4n+2))<1/6 或 frac(B_(4n+2))>2/3。但是，有很多反例，前几个反例出现在 n=2072070（也是 Plouffe 于 2004 年 6 月 21 日发现），6216210, 8128890, 10360350, 13548150, ... (OEIS A155125)。有趣的是，所有这些数字在其素数因式分解中都有大量的因子，如下表所示。这些数字的索引具有 frac(B_n) 增量最小值的数字的索引由 2072070, 6216210, 10360350, 18648630, 31081050, 35225190, 93243150, ... (OEIS A155126) 给出，它们似乎倾向于出现在原始列表中为 2 的幂的位置（1, 2, 4, 8, 16, 18, 64, ...）。

nn 的因式分解frac(B_n)
20720702·3^2·5·7·11·13·230.6664435068
62162102^1·3^3·5^1·7^1·11^1·13^1·23^10.6588649656
81288902^1·3^3·5^1·7^1·11^1·17^1·23^10.6648723198
103603502^1·3^2·5^2·7^1·11^1·13^1·23^10.6564013890

伯努利数的较旧的定义，不再广泛使用，使用方程定义 B_n^*

x/(e^x-1)+x/2-1=sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1)B_n^*x^(2n))/((2n)!)
(52)
=(B_1^*x^2)/(2!)-(B_2^*x^4)/(4!)+(B_3^*x^6)/(6!)+...
(53)

或

1-x/2cot(x/2)=sum_(n=1)^(infty)(B_n^*x^(2n))/((2n)!)
(54)
=(B_1^*x^2)/(2!)+(B_2^*x^4)/(4!)+(B_3^*x^6)/(6!)+...
(55)

对于 |x|<2pi（Whittaker 和 Watson 1990，第 125 页）。B_n^* 伯努利数可以从积分计算

B_n^*=4nint_0^infty(t^(2n-1)dt)/(e^(2pit)-1),
(56)

并从解析上从下式计算

B_n^*=(2(2n)!)/((2pi)^(2n))sum_(p=1)^inftyp^(-2n)=(2(2n)!)/((2pi)^(2n))zeta(2n)
(57)

对于 n=1, 2, ..., 其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函数。

伯努利数 B_n 是旧式伯努利数 B_n^* 的超集，因为

B_n={1 for n=0; -1/2 for n=1; (-1)^((n/2)-1)B_(n/2)^* for n even; 0 for n odd.
(58)

前几个伯努利数 B_n^* 是

B_1^*=1/6
(59)
B_2^*=1/(30)
(60)
B_3^*=1/(42)
(61)
B_4^*=1/(30)
(62)
B_5^*=5/(66)
(63)
B_6^*=(691)/(2730)
(64)
B_7^*=7/6
(65)
B_8^*=(3617)/(510)
(66)
B_9^*=(43867)/(798)
(67)
B_(10)^*=(174611)/(330)
(68)
B_(11)^*=(854513)/(138).
(69)

另请参阅

Agoh 猜想, 第二类伯努利数, 伯努利多项式, 德拜函数, 欧拉-麦克劳林积分公式, 欧拉数, 有形数三角形, 格诺奇数, 整数序列素数, 非正则素数, 修正伯努利数, 黎曼 Zeta 函数, von Staudt-Clausen 定理 在 MathWorld 课堂中探索此主题

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/BernoulliB/

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 上引用

伯努利数

请引用为

Weisstein, Eric W. "伯努利数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BernoulliNumber.html

学科分类