收敛级数 -- 来自 Wolfram MathWorld

收敛级数

如果一个级数趋近于某个极限（D'Angelo 和 West 2000, p. 259），则称该级数为收敛级数。

形式上，无穷级数是收敛的，如果部分和序列

(1)

是收敛的。相反地，如果部分和序列是发散的，则级数是发散的。如果和是收敛级数，那么和也是收敛的。如果 , 那么和要么都收敛，要么都发散。从级数的开头删除有限数量的项不会影响收敛性和发散性。序列分母中的常数项通常可以删除，而不会影响收敛性。级数的分子和分母中的多项式中，除了最高幂项之外的所有项通常都可以删除，而不会影响收敛性。

如果由取其项的绝对值形成的级数收敛（在这种情况下，它被称为绝对收敛），则原始级数收敛。

可以使用Wolfram 语言中的以下函数确定级数的收敛条件：SumConvergence[a, n]。

级数

			(2)
			(3)

都通过积分判别法发散，尽管后者需要 googolplex 数量级的项，部分和才会超过 10 (Zwillinger 1996, p. 39)。相比之下，级数和

(4)

(Baxley 1992; Braden 1992; Zwillinger 1996, p. 39; Kreminski 1997; OEIS A115563) 和

(5)

(OEIS A118582; Mathar 2009) 通过积分判别法收敛，尽管后者收敛非常缓慢，以至于需要项才能获得两位数的精度 (Zwillinger 1996, p. 39)。两者都可以使用欧拉-麦克劳林积分公式求和。

另请参阅

绝对收敛, 条件收敛, 收敛性检验, 收敛的, 收敛序列, 发散级数, 极限, 收敛半径, 一致收敛在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Baxley, J. V. "Euler's Constant, Taylor's Formula, and Slowly Converging Series." Math. Mag. 65, 302-313, 1992.Braden, B. "Calculating Sums of Infinite Series." Amer. Math. Monthly 99, 649-655, 1992.Bromwich, T. J. I'A. 和 MacRobert, T. M. 无穷级数理论导论，第 3 版 New York: Chelsea, 1991.D'Angelo, J. P. 和 West, D. B. 数学思维：问题解决和证明，第 2 版 Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 2000.Kreminski, R. "Using Simpson's Rule to Approximate Sums of Infinite Series." College Math. J. 28, 368-376, 1997.Mathar, R. J. "级数极限

." 2009 年 2 月 4 日。 http://arxiv.org/abs/0902.0789.Sloane, N. J. A. 序列 A115563 和 A118582，来自“整数序列在线百科全书”。Zwillinger, D. (Ed.). CRC 标准数学表格和公式，第 30 版 Boca Raton, FL: CRC Press, 1996.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

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请引用为

Weisstein, Eric W. “收敛级数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ConvergentSeries.html

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