一致收敛

函数序列 , , 2, 3, ... 如果对于每个 , 都能找到一个 整数 使得，则称该函数序列在 值集 上一致收敛于 。

(1)

对于 和所有 。

如果部分和序列 由下式定义，则级数 在 上一致收敛

(2)

在 上一致收敛。

要测试一致收敛性，请使用 阿贝尔一致收敛检验 或 魏尔斯特拉斯 M 判别法。如果一致收敛级数的各项 是连续的，则满足以下条件。

1. 级数和

(3)

是连续的。

2. 级数可以逐项积分

(4)

例如，幂级数 在其收敛圆内的任何闭有界子集上一致收敛。

3. 对于微分，情况更为复杂，因为 的一致收敛性并不能说明 的收敛性。假设 对于某些 收敛，每个 在 上可微，并且 在 上一致收敛。那么 在 上一致收敛到一个函数 ，并且对于每个 ，

(5)