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进行比较。 然而，发散速度非常缓慢。 调和级数的发散性最早由 Nicole d'Oresme（约 1323-1382 年）证明，但几个世纪以来一直被忽视（Havil 2003, p. 23; Derbyshire 2004, pp. 9-10）。 Pietro Mengoli 在 1647 年、Johann Bernoulli 在 1687 年以及 Jakob Bernoulli 在此之后不久再次证明了这个结果 (Derbyshire 2004, pp. 9-10)。
个调和数解析地给出
是
是
是正则数的 
的唯一值是 
、2 和 6 (Havil 2003, pp. 24-25)。
超过 1、2、3、... 所需的项数分别是 1、4、11、31、83、227、616、1674、4550、12367、33617、91380、248397、... (OEIS A004080; DeTemple and Wang 1991)。 使用解析形式表明，在 
项之后，总和仍然小于 20。 此外，为了获得大于 100 的总和，需要超过 
项！ 显式地写出，项数为
、
、
、... 所需的项数分别是 12367、15092688622113788323693563264538101449859497、
、... (OEIS A096618)。
求和也发散 (Wells 1986, p. 41)，其渐近行为为
是梅尔滕斯常数。
![sum_(k=1)^n((-1)^(k-1))/k=ln2+1/2(-1)^n[psi_0(1/2+1/2n)-psi_0(1+1/2n)].](/images/equations/HarmonicSeries/NumberedEquation8.svg)
项之后，该级数大约等于 2.163。