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欧拉-麦克劳林积分公式

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欧拉-麦克劳林积分和求和公式可以从达布公式导出，通过将伯努利多项式 B_n(t) 代入函数 phi(t)。对恒等式求 n-k 次导数得到

B_n(t+1)-B_n(t)=nt^(n-1)
(1)

n-k 次得到

B_n^((n-k))(t+1)-B_n^((n-k))(t)=n(n-1)...kt^(k-1).
(2)

代入 t=0 得到 B_n^((n-k))(1)=B_n^((n-k))(0)。从 B_n(z) 的麦克劳林级数，其中 k>0，我们有

B_n^((n-2k-1))(0)=0
(3)
B_n^((n-2k))(0)=(n!)/((2k)!)B_(2k)
(4)
B_n^((n-1))(0)=1/2n!
(5)
B_n^((n))(0)=n!,
(6)

其中 B_n 是伯努利数，将 B_n^((n-k))(1) 和 B_n^((n-k))(0) 的值代入达布公式得到

(z-a)f^'(a)=f(z)-f(a)-(z-a)/2[f^'(z)-f^'(a)]+sum_(m=1)^(n-1)(B_(2m)(z-a)^(2m))/((2m)!)[f^((2m))(z)-f^((2m))(a)]-((z-a)^(2n+1))/((2n)!)int_0^1B_(2n)(t)f^((2n+1))[a-(z-a)t]dt,
(7)

这就是欧拉-麦克劳林积分公式 (Whittaker and Watson 1990, p. 128)。当函数 f(z) 在积分区域内解析时，该公式成立

在某些情况下，当 n->infty 时，最后一项趋于 0，此时可以得到 f(z)-f(a) 的无穷级数。在这种情况下，可以通过反转公式将求和转换为积分，从而得到欧拉-麦克劳林求和公式

sum_(k=1)^(n-1)f_k=int_0^nf(k)dk-1/2[f(0)+f(n)]+sum_(k=1)^infty(B_(2k))/((2k)!)[f^((2k-1))(n)-f^((2k-1))(0)],
(8)

展开后得到

sum_(k=1)^(n-1)f_k=int_0^nf(k)dk-1/2[f(0)+f(n)]+1/(12)[f^'(n)-f^'(0)]-1/(720)[f^(''')(n)-f^(''')(0)]+1/(30240)[f^((5))(n)-f^((5))(0)]-1/(1209600)[f^((7))(n)-f^((7))(0)]+...
(9)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 16)。欧拉-麦克劳林求和公式在 Wolfram 语言 中以函数形式实现NSum以及选项Method -> "EulerMaclaurin".

当 f(x) 在 n 个值 f_(3/2), f_(5/2), ..., f_(n-1/2) 处制表时，使用第二类欧拉-麦克劳林积分公式

int_(x_1)^(x_n)f(x)dx=h[f_(3/2)+f_(5/2)+f_(7/2)+...+f_(n-3/2)+f_(n-1/2)] -sum_(k=1)^infty(B_(2k)h^(2k))/((2k)!)(1-2^(-2k+1))[f_n^((2k-1))-f_1^((2k-1))].
(10)

另请参阅

达布公式, 麦克劳林-柯西定理, 求和, Wynn's Epsilon 方法

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版. New York: Dover, pp. 16 和 806, 1972.Apostol, T. M. "欧拉求和公式的初等视角." Amer. Math. Monthly 106, 409-418, 1999.Arfken, G. "伯努利数，欧拉-麦克劳林公式." §5.9 in 物理学家的数学方法，第 3 版. Orlando, FL: Academic Press, pp. 327-338, 1985.Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; 和 Dilcher, K. "Pi、欧拉数和渐近展开." Amer. Math. Monthly 96, 681-687, 1989.Euler, L. Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop. 6, 68, 1738.Havil, J. "欧拉-麦克劳林求和." §10.2 in Gamma：探索欧拉常数. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 85-86, 2003.Knopp, K. 无穷级数的理论与应用. New York: Dover, 1990.Maclaurin, C. 流数法专论. Edinburgh, p. 672, 1742.Vardi, I. "欧拉-麦克劳林公式." §8.3 in Mathematica 中的计算娱乐. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 159-163, 1991.Whittaker, E. T. 和 Robinson, G. "欧拉-麦克劳林公式." §67 in 观测微积分：数值数学专论，第 4 版. New York: Dover, pp. 134-136, 1967.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. "欧拉-麦克劳林展开." §7.21 in 现代分析教程，第 4 版. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 127-128, 1990.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

欧拉-麦克劳林积分公式

引用为

Weisstein, Eric W. "欧拉-麦克劳林积分公式。" 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Euler-MaclaurinIntegrationFormulas.html

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