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麦克劳林级数

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麦克劳林级数是函数关于 0 的 泰勒级数 展开式，

f(x)=f(0)+f^'(0)x+(f^('')(0))/(2!)x^2+(f^((3))(0))/(3!)x^3+...+(f^((n))(0))/(n!)x^n+....
(1)

麦克劳林级数以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。

函数 f(x) 直到 n 阶的麦克劳林级数可以使用下式找到级数[f, {x, 0, n}]。 函数 f 的麦克劳林级数的第 n 项可以使用 Wolfram Language 在以下代码中计算SeriesCoefficient[f, {x, 0, n}] 并由逆 Z-变换 给出

a_n=Z^(-1)[f(1/x)](n).
(2)

麦克劳林级数是一种 级数展开，其中所有项都是变量的非负整数幂。 其他更通用的级数类型包括 洛朗级数 和 普吕厄级数。

常见函数的麦克劳林级数包括

1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...
(3)
for -1<x<1
(4)
cn(x,k)=1-1/2x^2+1/(24)(1+4k^2)x^4+...
(5)
cosx=1-1/2x^2+1/(24)x^4-1/(720)x^6+...
(6)
for -infty<x<infty
(7)
cos^(-1)x=1/2pi-x-1/6x^3-3/(40)x^5-5/(112)x^7-...
(8)
for -1<x<1
(9)
coshx=1+1/2x^2+1/(24)x^4+1/(720)x^6+1/(40,320)x^8+...
(10)
cot^(-1)x=1/2pi-x+1/3x^3-1/5x^5+1/7x^7-1/9x^9+...
(11)
dn(x,k)=1-1/2k^2x^2+1/(24)k^2(4+k^2)x^4+...
(12)
erf(x)=1/(sqrt(pi))(2x-2/3x^3+1/5x^5-1/(21)x^7+...)
(13)
e^x=1+x+1/2x^2+1/6x^3+1/(24)x^4+...
(14)
for -infty<x<infty
(15)
_2F_1(alpha,beta;gamma;x)=1+(alphabeta)/(1!gamma)x+(alpha(alpha+1)beta(beta+1))/(2!gamma(gamma+1))x^2+...
(16)
ln(1+x)=x-1/2x^2+1/3x^3-1/4x^4+...
(17)
for -1<x<=1
(18)
ln((1+x)/(1-x))=2x+2/3x^3+2/5x^5+2/7x^7+...
(19)
for -1<x<1
(20)
secx=1+1/2x^2+5/(24)x^4+(61)/(720)x^6+(277)/(8064)x^8+...
(21)
sechx=1-1/2x^2+5/(24)x^4-(61)/(720)x^6+(277)/(8064)x^8+...
(22)
sinx=x-1/6x^3+1/(120)x^5-1/(5040)x^7+...
(23)
for -infty<x<infty
(24)
sin^(-1)x=x+1/6x^3+3/(40)x^5+5/(112)x^7+(35)/(1152)x^9+...
(25)
sinhx=x+1/6x^3+1/(120)x^5+1/(5040)x^7+1/(362880)x^9+...
(26)
sinh^(-1)x=x-1/6x^3+3/(40)x^5-5/(112)x^7+(35)/(1152)x^9-...
(27)
sn(x,k)=x-1/6(1+k^2)x^3+1/(120)(1+14k^2+k^4)x^5+...
(28)
tanx=x+1/3x^3+2/(15)x^5+(17)/(315)x^7+(62)/(2835)x^9+...
(29)
tan^(-1)x=x-1/3x^3+1/5x^5-1/7x^7+...
(30)
for -1<x<1
(31)
tanhx=x-1/3x^3+2/(15)x^5-(17)/(315)x^7+(62)/(2835)x^9+...
(32)
tanh^(-1)x=x+1/3x^3+1/5x^5+1/7x^7+1/9x^9+....
(33)

其中一些的显式形式是

1/(1-x)=sum_(n=0)^(infty)x^n
(34)
cosx=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n)/((2n)!)x^(2n)
(35)
cos^(-1)x=pi/2-sum_(n=0)^(infty)(Gamma(n+1/2))/(sqrt(pi)(2n+1)n!)x^(2n+1)
(36)
coshx=sum_(n=0)^(infty)1/((2n)!)x^(2n)
(37)
cot^(-1)x=pi/2-sum_(n=0)^(infty)((-1)^n)/(2n+1)x^(2n+1)
(38)
e^x=sum_(n=0)^(infty)1/(n!)x^n
(39)
erf(x)=sum_(n=0)^(infty)(2(-1)^n)/(sqrt(pi)(2n+1)n!)x^(2n+1)
(40)
_2F_1(alpha,beta;gamma,x)=sum_(n=0)^(infty)((alpha)_n(beta)_n)/((gamma)_n)(x^n)/(n!)
(41)
ln(1+x)=sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n+1))/nx^n
(42)
ln((1+x)/(1-x))=sum_(n=1)^(infty)2/((2n-1))x^(2n-1)
(43)
secx=sum_(n=0)^(infty)((-1)^nE_(2n))/((2n)!)x^(2n)
(44)
sechx=sum_(n=0)^(infty)(E_(2n))/((2n)!)x^(2n)
(45)
sinx=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n)/((2n+1)!)x^(2n+1)
(46)
sin^(-1)x=sum_(n=0)^(infty)(Gamma(n+1/2))/(sqrt(pi)(2n+1)n!)x^(2n+1)
(47)
sinhx=sum_(n=0)^(infty)1/((2n+1)!)x^(2n+1)
(48)
sinh^(-1)x=sum_(n=0)^(infty)(P_(2n)(0))/(2n+1)x^(2n+1)
(49)
tanx=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n2^(2n+2)(2^(2n+2)-1)B_(2n+2))/((2n+2)!)x^(2n+1)
(50)
tan^(-1)x=sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n+1))/(2n-1)x^(2n-1)
(51)
tanhx=sum_(n=1)^(infty)(2^(2n)(2^(2n)-1)B_(2n))/((2n)!)x^(2n-1)
(52)
tanh^(-1)x=sum_(n=1)^(infty)1/(2n-1)x^(2n-1),
(53)

其中 Gamma(x) 是 伽玛函数，B_n 是 伯努利数，E_n 是 欧拉数，P_n(x) 是 勒让德多项式。

另请参阅

Alcuin 序列, 傅里叶级数, 广义傅里叶级数, 拉格朗日反演定理, 拉格朗日余项, 洛朗级数, 幂级数, 普吕厄级数, 级数展开, 泰勒级数 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 299-300, 1987.

在 Wolfram|Alpha 上引用

麦克劳林级数

请引用为

Weisstein, Eric W. “麦克劳林级数。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MaclaurinSeries.html

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