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几何级数

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几何级数 sum_(k)a_k 是一种级数，其中任意两个连续项的比率 a_(k+1)/a_k 是求和索引 k 的常数函数。比率为有理函数 rational function k 的更一般情况产生一种称为 hypergeometric series 的级数。

对于最简单的情况，即比率 a_(k+1)/a_k=r 等于常数 r，项 a_k 的形式为 of the form a_k=a_0r^k。令 a_0=1，具有常数 |r|<1 的 geometric sequence {a_k}_(k=0)^n 由下式给出

S_n=sum_(k=0)^na_k=sum_(k=0)^nr^k
(1)

由下式给出

S_n=sum_(k=0)^nr^k=1+r+r^2+...+r^n.
(2)

将两边乘以 r 得到

rS_n=r+r^2+r^3+...+r^(n+1),
(3)

然后从 (2) 中减去 (3) 得到

(1-r)S_n=(1+r+r^2+...+r^n)-(r+r^2+r^3+...+r^(n+1))
(4)
=1-r^(n+1),
(5)

所以

S_n=sum_(k=0)^nr^k=(1-r^(n+1))/(1-r).
(6)

对于 -1<r<1，当 n->infty 时，总和收敛，在这种情况下

S=S_infty=sum_(k=0)^inftyr^k=1/(1-r)
(7)

类似地，如果总和从 k=1 而不是 k=0 开始取

sum_(k=1)^(n)r^k=(r(1-r^n))/(1-r)
(8)
sum_(k=1)^(infty)r^k=r/(1-r),
(9)

后者对于 |r|<1 有效。

另请参阅

算术级数, 加百列阶梯, 调和级数, 超几何级数, 圣艾夫斯问题, 麦粒与棋盘问题 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (编辑). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 10, 1972.Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 278-279, 1985.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 8, 1987.Courant, R. and Robbins, H. "The Geometric Progression." §1.2.3 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 13-14, 1996.Pappas, T. "Perimeter, Area & the Infinite Series." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 134-135, 1989.

在 Wolfram|Alpha 上引用

几何级数

请引用为

Weisstein, Eric W. "几何级数。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GeometricSeries.html

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