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超几何级数

超几何级数 sum_(k)c_k 是一个级数，其中 c_0=1 并且连续项的比率是求和指标 k 的有理函数，即，满足以下条件：

(c_(k+1))/(c_k)=(P(k))/(Q(k)),
(1)

其中 P(k) 和 Q(k) 是多项式。在这种情况下，c_k 称为超几何项 (Koepf 1998, p. 12)。由超几何级数生成的函数称为超几何函数，或更一般地，称为广义超几何函数。如果多项式被完全分解，则连续项的比率可以写成

(c_(k+1))/(c_k)=(P(k))/(Q(k))=((k+a_1)(k+a_2)...(k+a_p))/((k+b_1)(k+b_2)...(k+b_q)(k+1)),
(2)

其中分母中的因子 k+1 出于历史符号的原因而存在，并且得到的广义超几何函数写为

_pF_q[a_1 a_2 ... a_p; b_1 b_2 ... b_q;x]=sum_(k=0)c_kx^k.
(3)

如果 p=2 并且 q=1，则该函数变为传统的超几何函数 _2F_1(a,b;c;x)。

通过检查生成超几何级数中连续项的比率，可以将许多和写成广义超几何函数。

另请参阅

二项式和, 广义超几何函数, 几何级数, 超几何函数, 超几何恒等式, 超几何项

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参考文献

Ishkhanyan, T. "超几何函数：从欧拉到阿佩尔及更远。" Jan. 25, 2024. https://blog.wolfram.com/2024/01/25/hypergeometric-functions-from-euler-to-appell-and-beyond/.Koepf, W. 超几何求和：求和与特殊函数恒等式的算法方法。 Braunschweig, Germany: Vieweg, 1998.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. "超几何级数”，“如何识别级数为超几何级数”和“识别超几何级数的软件”。 §3.2-3.4 in A=B. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 34-42, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

超几何级数

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "超几何级数。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/HypergeometricSeries.html

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