幂和

通常考虑两种幂和。第一种是一组 次幂，即一组 个变量 的和，

第二种是特殊情况 ，即，

一般幂和在统计学中很常见。例如，k 统计量最常根据幂和定义。幂和通过 牛顿-吉拉德公式 与 对称多项式 相关。

x 的 次幂乘以 的和可以通过解析方式给出：

其他解析和包括：

对于 ，其中 是一个 波赫哈默尔符号。有限版本具有简洁的闭合形式

对于 和 2。另一个和由下式给出：

整数 幂 和的解析解是

其中 是 黎曼 zeta 函数， 是 赫尔维茨 zeta 函数，而 是广义 调和数。对于 为 正整数 的特殊情况，福尔哈伯公式 明确给出了 和：

其中 是 克罗内克 delta， 是 二项式系数，而 是 伯努利数。同样正确的是，正如伯努利 (Boyer 1943) 所述，这种展开式中各项的 系数 之和为 1。

伯努利使用了 图形数三角形 的性质：

以及他通过归纳推导出的 的形式，以计算高达 的和（Boyer 1968，第 85 页）。对于 ，和由下式给出：

其中 符号 表示所讨论的量被提升到适当的 幂 ，并且所有 形式为 的项都用相应的伯努利数 替换。用 幂 和显式表示为：

其中

同样正确的是，各项 的 系数 之和为 1，

伯努利在没有证明的情况下陈述了这一点。

S_p(n) 的 双级数 解由下式给出：

计算 , ..., 10 的和得到

或因式分解形式为，

(OEIS A064538 和 A079618)。

特殊情况 的一个简单的图形证明也可以通过构建一系列盒子堆栈来给出，每个盒子宽度为 1 单位，高度为 单位，其中 、2、...、。现在在顶部添加一个旋转副本，如上图所示。请注意，所得图形的 宽度 为 ，高度 为 ，因此 面积 为 。所需的和是它的一半，因此和中盒子的 面积 为 。由于盒子是单位宽度，因此这也是和的值。

和 也可以使用第一个 欧拉-麦克劳林积分公式 计算

其中 。那么

令人惊讶的恒等式

被称为 尼科马科斯定理，也可以用图形方式说明（Wells 1991，第 198-199 页）。

Schultz (1980) 表明，可以通过写出以下公式找到和 ：

并求解 个方程组：

对于 , 1, ..., (Guo 和 Qi 1999) 获得，其中 是 克罗内克 delta。例如，对于 要解的三个方程是

得到 、 和 ，或

正如预期的那样。

通过以下公式与 二项式定理 相关：

(Guo 和 Qi 1999)。