双对数函数

双对数函数 是 多重对数函数 在 时的特殊情况。请注意，符号 不幸地与 对数积分 的符号相似。对于 函数，还有两种常见的归一化方法，都用 表示，其中一种被称为 Rogers L-函数。

双对数函数在 Wolfram 语言 中以如下方式实现：PolyLog[2, z].

双对数函数可以通过以下求和定义：

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或积分：

(2)

上面展示了 在 复平面 中的图像。

双对数函数的主要函数方程由下式给出：

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以下给出了可以以闭合形式计算的，带有实参 的 的完整列表：

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其中 是 黄金比例 (Lewin 1981, Bailey et al. 1997; Borwein et al. 2001)。

涉及无理数的两项恒等式包括：

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(Lima 2012, Campbell 2021) 以及

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其中 是 黄金比例， 是 Catalan 常数，而 是 三伽玛函数 (Campbell 2021)。

W. Gosper（2021 年 9 月 19 日）给出了以下复数自变量的双对数函数的恒等式：

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其中 表示 的 虚部，而 是 三伽玛函数。

有几个涉及双对数函数的显著恒等式。Ramanujan 给出了恒等式

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(Berndt 1994, Gordon and McIntosh 1997)，以及 的恒等式，Bailey et al. (1997) 表明

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Lewin (1991) 给出了 67 个双对数恒等式（称为“阶梯”），Bailey 和 Broadhurst (1999, 2001) 发现了惊人的附加双对数恒等式

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其中 是 Lehmer 的 Mahler 测度问题 中多项式的最大正根，而 是 黎曼 zeta 函数。