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反三角函数

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反三角函数是反函数，对应于三角函数，记为 cos^(-1)z, cot^(-1)z, csc^(-1)z, sec^(-1)z, sin^(-1)z, 和 tan^(-1)z。

有时会使用其他表示法，如下表所示。

f(z)其他表示法
cos^(-1)zarccosz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 207)
cot^(-1)zarccotz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333), arcctgz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 208; Jeffrey 2000, p. 127)
csc^(-1)zarccscz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333), arccosecz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 207)
sec^(-1)zarcsecz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 209)
sin^(-1)zarcsinz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 207)
tan^(-1)zarctanz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333), arctgz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 208; Jeffrey 2000, p. 127)

反三角函数是多值函数。例如，存在 w 的多个值，使得 z=sinw，因此，除非定义了主值，否则 sin^(-1)z 不是唯一确定的。这样的主值有时用大写字母表示，因此，例如，反正弦 sin^(-1)z 的主值可以用 Sin^(-1)z 或 Arcsinz 表示 (Beyer 1987, p. 141)。另一方面，符号 sin^(-1)z (等等) 也常用于表示主值或任何正弦为 z 的量 (Zwillinger 1995, p. 466)。更糟糕的是，主值和多值符号有时会颠倒，例如，arcsinz 表示主值，而 Arcsinz 表示多值函数 (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333)。

由于反三角函数是多值函数，它们在复平面中需要分支切割。可能存在不同的分支切割约定，但这项工作中采用的约定遵循 Wolfram 语言 使用的约定，总结如下。

函数名函数Wolfram 语言分支切割
反余割csc^(-1)zArcCsc[z](-1,1)
反余弦cos^(-1)zArcCos[z](-infty,-1) 和 (1,infty)
反余切cot^(-1)zArcCot[z](-i,i)
反正割sec^(-1)zArcSec[z](-1,1)
反正弦sin^(-1)zArcSin[z](-infty,-1) 和 (1,infty)
反正切tan^(-1)zArcTan[z](-iinfty,-i] 和 [i,iinfty)
InverseTrigonometricFunctions

对于实参数，这些函数的值域可能有不同的约定。按照 Wolfram 语言 使用的约定，这项工作中定义的反三角函数在实数线 R 上的定义域具有以下值域，如上图所示。

函数名函数定义域值域
反余割csc^(-1)x(-infty,infty)[-1/2pi,0) 或 (0,1/2pi]
反余弦cos^(-1)x[-1,1][0,pi]
反余切cot^(-1)x(-infty,infty)(-1/2pi,0) 或 (0,1/2pi]
反正割sec^(-1)x(-infty,infty)[0,1/2pi) 或 (1/2pi,pi]
反正弦sin^(-1)x[-1,1][-1/2pi,1/2pi]
反正切tan^(-1)x(-infty,infty)(-1/2pi,1/2pi)

反向-正向恒等式为

tan^(-1)(cotx)=1/2pi-x forx in [0,pi]
(1)
sin^(-1)(cosx)=1/2pi-x forx in [0,pi]
(2)
sec^(-1)(cscx)=1/2pi-x forx in [0,1/2pi].
(3)

正向-反向恒等式为

cos(sin^(-1)x)=sqrt(1-x^2)
(4)
cos(tan^(-1)x)=1/(sqrt(1+x^2))
(5)
sin(cos^(-1)x)=sqrt(1-x^2)
(6)
sin(tan^(-1)x)=x/(sqrt(1+x^2))
(7)
tan(cos^(-1)x)=(sqrt(1-x^2))/x
(8)
tan(sin^(-1)x)=x/(sqrt(1-x^2)).
(9)

反向和恒等式包括

sin^(-1)x+cos^(-1)x=1/2pi
(10)
tan^(-1)x+cot^(-1)x=1/2pi
(11)
sec^(-1)x+csc^(-1)x=1/2pi,
(12)

其中方程 (11) 仅对 x>=0 有效。

以自然对数表示的复反恒等式包括

sin^(-1)z=-iln(iz+sqrt(1-z^2))
(13)
cos^(-1)z=1/2pi+iln(iz+sqrt(1-z^2))
(14)
tan^(-1)z=1/2i[ln(1-iz)-ln(1+iz)].
(15)

参见

反余割, 反余弦, 反余切, 反函数, 反双曲函数, 反正割, 反正弦, 反正切, 三角函数

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A.(编). "反圆函数." §4.4 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 纽约: Dover, pp. 79-83, 1972.Apostol, T. M. "三角函数的反函数." §6.21 微积分，第二版，第一卷：单变量微积分，线性代数导论。 Waltham, MA: Blaisdell, pp. 253-256, 1967.Beyer, W. H.(编). CRC 标准数学表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1987.Harris, J. W. 和 Stocker, H. "反三角函数." 数学和计算科学手册。 纽约: Springer-Verlag, pp. 306-318, 1998.Jeffrey, A. "反三角函数和双曲函数." §2.7 数学公式和积分手册，第二版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "反三角函数." Ch. 35 函数图集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.Trott, M. "反三角函数和双曲函数." §2.2.5 Mathematica 编程指南。 纽约: Springer-Verlag, pp. 180-191, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Zwillinger, D.(编). CRC 标准数学表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

反三角函数

以此引用

Weisstein, Eric W. "反三角函数." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/InverseTrigonometricFunctions.html

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