柯西-黎曼方程

设

(1)

其中

(2)

因此

(3)

f 关于 的全导数是

			(4)
			(5)

用 和 表示，(5) 变为

			(6)
			(7)

沿实轴，或 x-轴, , 因此

(8)

沿虚轴，或 y-轴, , 因此

(9)

如果 是 复可微 的，那么对于给定的 ，导数值必须相同，与其方向无关。因此，(8) 必须等于 (9)，这要求

(10)

和

(11)

这些被称为柯西-黎曼方程。

它们导出条件

			(12)
			(13)

柯西-黎曼方程可以简明地写成

			(14)
			(15)
			(16)
			(17)

其中 是 复共轭。

如果 , 那么柯西-黎曼方程变为

			(18)
			(19)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 17)。

如果 和 满足柯西-黎曼方程，它们也满足二维拉普拉斯方程，因为

(20)

(21)

通过选择任意 ，可以找到自动满足柯西-黎曼方程和 拉普拉斯方程 的解。这一事实被用于使用 共形映射 来找到涉及标量势的物理问题的解，例如流体流动和静电学。