对数积分

对数积分（采用“美式”约定；Abramowitz 和 Stegun 1972；Edwards 2001，第 26 页），对于实数定义为

		${int_0^x(dt)/(lnt) for 0<x<1; PVint_0^x(dt)/(lnt) for x>1$	(1)
		${int_0^x(dt)/(lnt) for 0<x<1; lim_(epsilon->0^+)[int_0^(1-epsilon)(dt)/(lnt)+int_(1+epsilon)^x(dt)/(lnt)] for x>1$	(2)

这里，PV 表示积分的柯西主值，并且该函数在奇点处有一个奇点。

以这种方式定义的对数积分在 Wolfram 语言中实现为LogIntegral[x]。

存在一个唯一的正数

(3)

（OEIS A070769；Derbyshire 2004，第 114 页）被称为 Soldner 常数，对于该常数，因此对数积分也可以写成

(4)

对于。

特殊值包括

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

（OEIS A069284），其中是 Soldner 常数（Edwards 2001，第 34 页）。

	最小值	最大值
实部
虚部

该定义也可以扩展到复平面，如上图所示。

它的导数是

(9)

它的不定积分是

(10)

其中是指数积分。它也有定积分

(11)

其中（OEIS A002162）是自然对数 2。

对数积分服从

(12)

其中是指数积分，以及恒等式

(13)

（Bromwich 和 MacRobert 1991，第 334 页；Hardy 1999，第 25 页）。

Nielsen 证明并且 Ramanujan 独立发现

(14)

其中是欧拉-马歇罗尼常数（Nielsen 1965，第 3 页和第 11 页；Berndt 1994；Finch 2003；Havil 2003，第 106 页）。Ramanujan 提出的另一个收敛更快的公式是

(15)

其中是向下取整函数（Berndt 1994）。

此函数在素数定理中出现的形式（例如 Landau 以及 Havil 2003，第 105 页和第 175 页使用）有时被称为“欧式”定义（Derbyshire 2004，第 373 页），定义为

			(16)
			(17)

请注意，符号（容易混淆地）也用于多对数函数，以及的“美式”定义（Edwards 2001，第 26 页）。

另请参阅

多对数函数，素数星座，素数计数函数，素数定理， Skewes 数

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更多尝试

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 879, 1972.Berndt, B. C. Ramanujan 的笔记本，第四部分。 New York: Springer-Verlag, pp. 126-131, 1994.Bromwich, T. J. I'A. and MacRobert, T. M. 无穷级数理论导论，第 3 版。 New York: Chelsea, p. 334, 1991.de Morgan, A. 微分和积分 calculus，包含微分、积分、展开、级数、微分方程、差分、求和、差分方程、变分法、定积分——应用于代数、平面几何、立体几何和力学。 London: Robert Baldwin, p. 662, 1839.Derbyshire, J. 素数迷恋：Bernhard Riemann 和数学中最伟大的未解问题。 New York: Penguin, pp. 114-117 and 373, 2004.Edwards, H. M. Riemann Zeta 函数。 New York: Dover, 2001.Finch, S. R. "Euler-Gompertz Constant." §6.2 in 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 423-428, 2003.Hardy, G. H. Ramanujan：关于他的生活和工作启发的十二次讲座，第 3 版。 New York: Chelsea, 1999.Havil, J. Gamma：探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 105-106 and 175-176, 2003.Koosis, P. 对数积分 I。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1998.Nielsen, N. "Theorie des Integrallograrithmus und Verwandter Transzendenten." Part II in Die Gammafunktion。 New York: Chelsea, 1965.Vardi, I. Mathematica 中的计算娱乐。 Reading, MA: Addison-Wesley, p. 151, 1991.Hardy, G. H. Ramanujan：关于他的生活和工作启发的十二次讲座，第 3 版。 New York: Chelsea, p. 45, 1999.Le Lionnais, F. 卓越的数。 Paris: Hermann, p. 39, 1983.Sloane, N. J. A. Sequences A0021624074, A069284 and A070769 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Soldner. 论文集 2, 333, 1812.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

对数积分

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Weisstein, Eric W. "对数积分。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/LogarithmicIntegral.html

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