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广义超几何函数

广义超几何函数由超几何级数给出，即一个级数，其连续项的比率可以写成

(c_(k+1))/(c_k)=(P(k))/(Q(k))=((k+a_1)(k+a_2)...(k+a_p))/((k+b_1)(k+b_2)...(k+b_q)(k+1)).
(1)

（k+1 在分母中的因子是出于历史符号的原因。）由此产生的广义超几何函数写成

sum_(k=0)^(infty)c_kx^k=_pF_q[a_1,a_2,...,a_p; b_1,b_2,...,b_q;x]
(2)
=sum_(k=0)^(infty)((a_1)_k(a_2)_k...(a_p)_k)/((b_1)_k(b_2)_k...(b_q)_k)(x^k)/(k!),
(3)

其中 (a)_k 是 波赫哈默尔符号 或 升阶乘

(a)_k=(Gamma(a+k))/(Gamma(a))=a(a+1)...(a+k-1).
(4)

一个广义超几何函数 _pF_q(a_1,...,a_p; b_1,...,b_q;x) 因此有 p 个类型 1 的参数和 q 个类型 2 的参数。

许多广义超几何函数都有特殊的名称。_0F_1(;b;z) 被称为合流超几何极限函数，并在 Wolfram 语言 中实现为Hypergeometric0F1[b, z]。_1F_1(a;b;z) (也表示为 M(z)) 被称为第一类合流超几何函数，并在 Wolfram 语言 中实现为Hypergeometric1F1[a, b, z]。函数 _2F_1(a,b;c;z) 通常被称为“超几何函数”或高斯超几何函数，并在 Wolfram 语言 中实现为Hypergeometric2F1[a, b, c, x]。任意广义超几何函数实现为HypergeometricPFQ[{a1, ...ap}, {b1, ..., bq}, x]。

广义超几何函数的表示法由波赫哈默尔在 1870 年引入，并由 Barnes (1907, 1908ab; Slater 1960, p. 2; Hardy 1999, p. 111) 修改。常用的表示法变体有很多，包括

_pF_q(a_1,...,a_p;b_1,...,b_q;x),
(5)

主要用于 p,q<=2，使用方括号而不是圆括号

_pF_q[a_1,...,a_p;b_1,...,b_q;x]
(6)

（Slater 1960, p. 2），包括在第一行末尾的 x，以及从右侧对齐第二行的槽位

_pF_q[a_1,a_2,...,a_p;; b_1,...,b_q z; ]
(7)

（Bailey 1935, p. 9），包括在第一行末尾的 x，以及居中每一行

_pF_q[a_1,a_2,...,a_p;z; b_1,...,b_q]
(8)

（Bailey 1935, p. 14），使用严格的矩阵式对齐方式，每一列都沿着最右边的元素向右对齐

_pF_q[a_1 a_2 ... a_p;; b_1 ..., b_q z; ]
(9)

或

_pF_q[a_1 a_2 ... a_p;; b_1 ..., b_q;z]
(10)

（Slater 1960, p. 31），以及一种变体，其中行居中，x 放置在右侧，用竖线分隔并使用圆括号

_pF_q(a_1,a_2,...,a_p; b_1,...,b_q|x)
(11)

（Graham et al. 1994, p. 205）或使用方括号和分号

_pF_q[a_1,a_2,...,a_p; b_1,...,b_q;x].
(12)

后一种约定将在本文中使用，因为它在排版可能包含大量不同长度的符号参数的表达式时，在最节省空白空间的情况下，提供了最清晰的参数 x 的划分。

如果参数等于 x=1，则通常完全省略参数，尽管尾随分号可以保留或根据符号约定丢弃。Bailey (1935, p. 9) 使用以下符号

_pF_q[a_1,a_2,...,a_p;; b_1,...,b_q]=_pF_q[a_1,a_2,...,a_p;1; b_1,b_2,...,b_q],
(13)

尽管在本文中，分号将被省略，即，

_pF_q[a_1,a_2,...,a_p; b_1,b_2,...,b_q]=_pF_q[a_1,a_2,...,a_p; b_1,b_2,...,b_q].
(14)

坎佩·德·费里埃函数是广义超几何函数对两个变量的推广。

广义超几何函数 F_n(x)=_pF_q[a_1,a_2...,a_p; b_1,b_2,...,b_q;x] 满足

thetaF_n(x)=n[F_(n+1)(x)-F_n(x)]
(15)

对于其任何分子参数 n=alpha_k，以及

thetaF_n(x)=(n-1)[F_(n-1)(x)-F_n(x)]
(16)

对于其任何分母参数 n=beta_k，其中

theta=zd/(dz)
(17)

是微分算子（Rainville 1971, Koepf 1998, p. 27）。

广义超几何函数

_(p+1)F_p[a_1,a_2,...,a_(p+1); b_1,b_2,...,b_p;z]
(18)

是微分方程的解

[theta(theta+b_1-1)...(theta+b_p-1)-z(theta+a_1)(theta+a_2)...(theta+a_(p+1))]y=0
(19)

（Bailey 1935, p. 8）。另一个线性独立的解是

z^(1-b_1)_(p+1)F_p[1+a_1-b_1,1-a_2-b_2,...,1+a_(p+1)-b_1; 2-b_1,1-b_2-b_1,...,1-b_p-b_1;z].
(20)

广义超几何函数 _(q+1)F_q 在单位圆上绝对收敛，如果

R(sum_(j=1)^qbeta_j-sum_(j=1)^(q+1)alpha_j)>0
(21)

（Rainville 1971, Koepf 1998）。

许多和可以写成广义超几何函数，通过检查生成超几何级数中连续项的比率。例如，对于

f(n)=sum_(k)(-1)^k(2n; k)^2,
(22)

连续项的比率为

(a_(k+1))/(a_k)=((-1)^(k+1)(2n; k+1)^2)/((-1)^k(2n; k)^2)=-((k-2n)^2)/((k+1)^2),
(23)

得到

f(n)=_2F_1[-2n,-2n; 1;-1]=_2F_1(-2n,-2n;1;-1)
(24)

（Petkovšek et al. 1996, pp. 44-45）。

Gosper (1978) 发现了一系列不寻常的超几何函数恒等式，其中许多随后被 Gessel 和 Stanton (1982) 证明。Gosper 技术的重要的推广，称为Zeilberger 算法，反过来又导致了 Wilf-Zeilberger 对 的强大机制（Zeilberger 1990）。

特殊的超几何恒等式包括高斯超几何定理

_2F_1(a,b;c;1)=(Gamma(c)Gamma(c-a-b))/(Gamma(c-a)Gamma(c-b))
(25)

对于 R[c-a-b]>0，库默尔公式

_2F_1(a,b;c;-1)=(Gamma(1/2b+1)Gamma(b-a+1))/(Gamma(b+1)Gamma(1/2b-a+1)),
(26)

其中 a-b+c=1 且 b 是正整数，Saalschütz 定理

_3F_2(a,b,c;d,e;1)=((d-a)_(|c|)(d-b)_(|c|))/(d_(|c|)(d-a-b)_(|c|))
(27)

对于 d+e=a+b+c+1 且 c 是负整数，(a)_n 是 波赫哈默尔符号，狄克逊定理

_3F_2(a,b,c;d,e;1)=((1/2a)!(a-b)!(a-c)!(1/2a-b-c)!)/(a!(1/2a-b)!(1/2a-c)!(a-b-c)!),
(28)

其中 1+a/2-b-c 具有正实部，d=a-b+1，以及 e=a-c+1，克劳森公式

_4F_3[a,b,c,d; e,f,g;1]=((2a)_(|d|)(a+b)_(|d|)(2b)_(|d|))/((2a+2b)_(|d|)a_(|d|)b_(|d|)),
(29)

对于 a+b+c-d=1/2，e=a+b+1/2，a+f=d+1=b+g，d 是非正整数，以及Dougall-Ramanujan 恒等式

_7F_6[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7; b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6;1] =((a_1+1)_n(a_1-a_2-a_3+1)_n)/((a_1-a_2+1)_n(a_1-a_3+1)_n)((a_1-a_2-a_4+1)_n(a_1-a_3-a_4+1)_n)/((a_1-a_4+1)_n(a_1-a_2-a_3-a_4+1)_n),
(30)

其中 n=2a_1+1=a_2+a_3+a_4+a_5，a_6=1+a_1/2，a_7=-n，且 b_i=1+a_1-a_(i+1) 对于 i=1, 2, ..., 6。对于所有这些恒等式，(a)_n 是 波赫哈默尔符号。

Gessel (1995) 使用 Wilf-Zeilberger 对 发现了一系列新的恒等式，包括以下内容

_5F_4[-a-b,n+1,n+c+1,2n-a-b+1,n+1/2(3-a-b); n-a-b-c+1,n-a-b+1,2n+2,n+1/2(1-a-b);1]=0
(31)
_3F_2[-3n,2/3-c,3n+2; 3/2,1-3c;3/4]=((c+2/3)_n(1/3)_n)/((1-c)_n(4/3)_n)
(32)
_3F_2[-3b,-3/2n,1/2(1-3n); -3n,2/3-b-n;4/3]=((1/3-b)_n)/((1/3+b)_n)
(33)
_4F_3[3/2+1/5n,2/3,-n,2n+2; n+(11)/6,4/3,1/5n+1/2;2/(27)]=((5/2)_n((11)/6)_n)/((3/2)_n(7/2)_n)
(34)

（Petkovšek et al. 1996, pp. 135-137）。

下表给出了各种命名的恒等式，按 (p,q) 阶排序，它们涉及的 _pF_qs。Bailey (1935) 给出了大量的此类恒等式。

_2F_1高斯超几何定理, 库默尔定理, 奥尔定理, 拉马努金超几何恒等式
_3F_2达林乘积, 狄克逊定理, 拉马努金超几何恒等式, Saalschütz 定理, Thomae 定理, 沃森定理, 惠普尔恒等式
_4F_3克劳森公式, 斯莱特公式, 惠普尔变换
_5F_4Dougall 定理
_6F_5惠普尔恒等式
_7F_6Dougall-Ramanujan 恒等式, 惠普尔变换
_9F_8Bailey 变换

Nørlund (1955) 给出了通用变换

_nF_(n-1)[a_1,a_2,...,a_n; b_1,b_2,...,b_(n-1);xz] =(1-z)^(-a_1)sum_(nu=0)^infty((a_1)_nu)/(nu!)_nF_(n-1)[-nu,a_2,a_3,...,a_n; b_1,b_2,...,b_(n-1);x](z/(z-1))^nu,
(35)

其中 (a)_n 是 波赫哈默尔符号。这个恒等式基于欧拉的变换

sum_(n=0)^infty((a)_n)/(n!)a_nz^n=(1-z)^(-a)sum_(n=0)^infty((a)_n)/(n!)Delta^na_0(z/(1-z))^n,
(36)

其中 Delta 是前向差分，并且

Delta^ka_0=sum_(m=0)^k(-1)^m(k; m)a_(k-m)
(37)

（Nørlund 1955）。

另请参阅

卡尔森定理, 克劳森公式, 第一类合流超几何函数, 合流超几何极限函数, 狄克逊定理, Dougall-Ramanujan 恒等式, Dougall 定理, 广义超几何微分方程, Gosper 算法, 超几何函数, 超几何恒等式, 超几何级数, 杰克逊恒等式, k-平衡, 坎佩·德·费里埃函数, 库默尔定理, Lauricella 函数, 近乎平衡, q-超几何函数, 拉马努金超几何恒等式, Saalschütz 定理, Saalschützian, 西琳妹妹方法, 斯莱特公式, Thomae 定理, 沃森定理, 良好平衡, 惠普尔恒等式, 惠普尔变换, Wilf-Zeilberger 对, Zeilberger 算法

相关的 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/HypergeometricPFQ/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/HypergeometricPFQRegularized/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric1F0/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric1F1/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric2F2/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric2F3/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric3F2/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric4F3/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric5F4/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric6F5/

使用 探索

参考文献

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在 上引用

广义超几何函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "广义超几何函数。" 来自 --一个 资源。 https://mathworld.net.cn/GeneralizedHypergeometricFunction.html

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