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Dougall-Ramanujan 恒等式

拉马努金在 1910 年左右发现的一个超几何恒等式。引自 Hardy (1999, pp. 13 和 102-103),

sum_(n=0)^infty(-1)^n(s+2n)(s^((n))(x+y+z+u+2s+1)^((n)))/((x+y+z+u-s)_((n)))product_(x,y,z,u)(x_((n)))/((x+s+1)^((n))) =s/(Gamma(s+1)Gamma(x+y+z+u+s+1))product_(x,y,z,u)(Gamma(x+s+1)Gamma(y+z+u+s+1))/(Gamma(z+u+s+1)),
(1)

其中

a^((n))=a(a+1)...(a+n-1)
(2)

是升阶乘（又名波赫哈默尔符号），

a_((n))=a(a-1)...(a-n+1)
(3)

是降阶乘 (Hardy 1999, p. 101), Gamma(z) 是一个伽玛函数，并且以下之一

x,y,z,u,-x-y-z-u-2s-1
(4)

是一个正整数。

方程 (1) 也可以重写为

_7F_6[s,1+1/2s,-x,-y,-z,-u,x-y+z+u+2s+1 ; 1/2s,x+s+1,y+s+1,z+s+1,u+s+1, ; -x-y-z-u-s;1] =1/(Gamma(s+1)Gamma(x+y+z+u+s+1))product_(x,y,z,u)(Gamma(x+s+1)Gamma(y+z+u+s+1))/(Gamma(z+u+s+1)).
(5)

(Hardy 1999, p. 102)。以更对称的形式，如果 n=2a_1+1=a_2+a_3+a_4+a_5, a_6=1+a_1/2, a_7=-n, 和 b_i=1+a_1-a_(i+1) 对于 i=1, 2, ..., 6, 那么

_7F_6[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7; b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6;1] =((a_1+1)_n(a_1-a_2-a_3+1)_n)/((a_1-a_2+1)_n(a_1-a_3+1)_n)((a_1-a_2-a_4+1)_n(a_1-a_3-a_4+1)_n)/((a_1-a_4+1)_n(a_1-a_2-a_3-a_4+1)_n),
(6)

其中 (a)_n 是波赫哈默尔符号 (Petkovšek et al. 1996)。

该恒等式是Jackson 恒等式的一个特例，并给出了Dixon 定理、Saalschütz 定理和Morley 公式作为特例。

另请参阅

Bailey 变换, Dixon 定理, Dougall 定理, 广义超几何函数, 超几何函数, Jackson 恒等式, Morley 公式, Rogers-Ramanujan 恒等式, Saalschütz 定理

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Bailey, W. N. "Dougall 定理的初等证明。" §5.1 in 广义超几何级数。 英国剑桥：剑桥大学出版社，pp. 25-26 和 34, 1935。Dixon, A. C. "某些级数的求和。" 伦敦数学学会会刊 35, 285-289, 1903。Dougall, J. "关于范德蒙定理和一些更一般的展开式。" 爱丁堡数学学会会刊 25, 114-132, 1907。Hardy, G. H. "拉马努金笔记本中的一章。" 剑桥哲学学会会刊 21, 492-503, 1923。Hardy, G. H. 拉马努金：关于他的生活和工作启发的课题的十二讲座，第 3 版。 纽约：Chelsea, 1999。Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; 和 Zeilberger, D. A=B。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 43, 126-127, 和 183-184, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Dougall-Ramanujan 恒等式

请引用为

魏斯stein，埃里克·W. "Dougall-Ramanujan 恒等式。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Dougall-RamanujanIdentity.html

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