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库默尔公式

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库默尔第一公式是

_2F_1(1/2+m-k,-n;2m+1;1)=(Gamma(2m+1)Gamma(m+1/2+k+n))/(Gamma(m+1/2+k)Gamma(2m+1+n)),
(1)

其中 _2F_1(a,b;c;z) 是超几何函数，其中 m!=-1/2, -1, -3/2, ..., 并且 Gamma(z) 是伽玛函数。这个恒等式可以写成更对称的形式为

_2F_1(a,b;c;-1)=(Gamma(1/2b+1)Gamma(b-a+1))/(Gamma(b+1)Gamma(1/2b-a+1)),
(2)

其中 a-b+c=1 且 b 是正整数 (Bailey 1935, p. 35; Petkovšek et al. 1996; Koepf 1998, p. 32; Hardy 1999, p. 106)。如果 b 是负整数，则恒等式变为

_2F_1(a,b;c;-1)=2cos(1/2pib)(Gamma(|b|)Gamma(b-a+1))/(Gamma(1/2b-a+1))
(3)

(Petkovšek et al. 1996)。

库默尔第二公式是

M_(0,m)(z)=z^(m+1/2)e^(-z/2)_1F_1(1/2+m;2m+1;z)
(4)
=z^(m+1/2)[1+sum_(k=1)^(infty)(z^(2k))/(2^(4k)k!(m+1)_k)]
(5)
=4^msqrt(z)I_m(1/2z)Gamma(m+1),
(6)

其中 M_(0,m)(z) 是惠特克函数，_1F_1(a;b;z) 是第一类合流超几何函数，(a)_n 是波赫哈默符号，I_n(z) 是第一类修正贝塞尔函数，以及 m!=-1/2, -1, -3/2, ....

另请参阅

第一类合流超几何函数, 超几何函数

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参考文献

Bailey, W. N. 广义超几何级数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1935.Hardy, G. H. 拉马努金：关于其生平和工作启发的课题的十二讲，第三版。 New York: Chelsea, 1999.Koepf, W. 超几何求和：求和与特殊函数恒等式的算法方法。 Braunschweig, Germany: Vieweg, 1998.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 42-43 and 126, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

库默尔公式

请引用为

Weisstein, Eric W. "库默尔公式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/KummersFormulas.html

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