主题
Search

Wilf-Zeilberger 对

一对 闭合形式 函数 (F,G) 被称为 Wilf-Zeilberger 对，如果

F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k).
(1)

Wilf-Zeilberger 形式体系为 已知 恒等式提供了简洁的证明，并且当它成功为 已知 恒等式找到证明证书时，允许发现新的恒等式。然而，如果起点是一个未知的超几何和，那么 Wilf-Zeilberger 方法无法发现闭合形式解，而 Zeilberger 算法 可以。

Wilf-Zeilberger 对在证明 超几何恒等式 形式的恒等式中非常有用

sum_(k)t(n,k)=rhs(n)
(2)

对于这种形式，加数 t(n,k) 对于所有 k 在某个有限区间之外时消失。现在除以右侧得到

sum_(k)F(n,k)=1,
(3)

其中

F(n,k)=(t(n,k))/(rhs(n)).
(4)

现在使用 有理函数 R(n,k) 由 Zeilberger 算法提供，定义

G(n,k)=R(n,k)F(n,k).
(5)

恒等式 (◇) 随之得出。将关系式对所有整数求和，则右侧伸缩为 0，得到

sum_(k)F(n+1,k)=sum_(k)F(n,k).
(6)

因此，sum_(k)F(n,k) 与 n 无关，因此必须是一个常数。如果 F 被正确归一化，那么 sum_(k)F(0,k)=1 将为真。

例如，考虑二项式系数恒等式

sum_(k=0)^n(n; k)=2^n,
(7)

R(n,k) 由 Zeilberger 算法返回的函数 是

R(n,k)=k/(2(k-n-1)).
(8)

因此，

F(n,k)=(n; k)2^(-n)
(9)

和

G(n,k)=R(n,k)F(n,k)
(10)
=k/(2(k-n-1))(n; k)2^(-n)
(11)
=-(kn!2^(-n))/(2(n+1-k)k!(n-k)!)
(12)
=-(n; k-1)2^(-n-1).
(13)

取

F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k)
(14)

然后给出所谓的恒等式

(n+1; k)2^(-n-1)-(n; k)2^(-n)=-(n; k)2^(-n-1)+(n; k-1)2^(-n-1)?
(15)

展开和计算表明该恒等式确实成立，并且也可以验证

F(0,k)=(0; k)={1 for k=0; 0 otherwise,
(16)

因此 sum_(k)F(0,k)=1 (Petkovšek et al. 1996, pp. 25-27)。

对于任何 Wilf-Zeilberger 对 (F,G)，

sum_(n=0)^inftyG(n,0)=sum_(n=1)^infty[F(n,n-1)+G(n-1,n-1)]
(17)

只要任一侧收敛 (Zeilberger 1993)。此外，

sum_(n=0)^inftyG(n,0)=sum_(n=0)^infty[F(s(n+1),n)+sum_(i=0)^(s-1)G(sn+i,n)] -lim_(n->infty)sum_(k=0)^(n-1)F(sn,k)
(18)
sum_(k=0)^inftyF(0,k)=sum_(n=0)^inftyG(n,0)-lim_(k->infty)sum_(n=0)^kG(n,k),
(19)

和

sum_(n=0)^inftyG(n,0)=sum_(n=0)^infty[sum_(j=0)^(t-1)F(s(n+1),tn+j)+sum_(i=0)^(s-1)G(sn+i,tn)]-lim_(n->infty)sum_(k=0)^(n-1)F_(s,t)(n,k),
(20)

其中

F_(s,t)(n,k)=sum_(j=0)^(t-1)F(sn,tk+j)
(21)
G_(s,t)(n,k)=sum_(i=0)^(s-1)G(sn+i,tk)
(22)

(Amdeberhan 和 Zeilberger 1997)。后一个恒等式已被用于计算 Apéry 常数到很多位小数 (Wedeniwski)。

另请参阅

Apéry 常数, 收敛加速, Gosper 算法, Sister Celine 方法, Zeilberger 算法

使用 探索

参考文献

Amdeberhan, T. and Zeilberger, D. "通过 WZ 方法加速超几何级数。" Electronic J. Combinatorics 4, No. 2, R3, 1-3, 1997. http://www.combinatorics.org/Volume_4/Abstracts/v4i2r3.html. Also available at http://www.math.temple.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/accel.html.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. "Wilf-Zeilberger 算法。" §3.1 in 行动中的实验数学。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 53-55, 2007.Cipra, B. A. "格林奇如何偷走数学。" Science 245, 595, 1989.Koepf, W. "m 重超几何求和的算法。" J. Symb. Comput. 20, 399-417, 1995.Koepf, W. "Wilf-Zeilberger 方法。" Ch. 6 in 超几何求和：求和与特殊函数恒等式的算法方法。 Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 80-92, 1998.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. "WZ 现象。" Ch. 7 in A=B。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 121-140, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Wedeniwski, S. "Zeta(3) 的 128000026 位数字。" http://pi.lacim.uqam.ca/eng/records_en.html.Wilf, H. S. and Zeilberger, D. "有理函数证明组合恒等式。" J. Amer. Math. Soc. 3, 147-158, 1990.Zeilberger, D. "创造性伸缩法。" J. Symb. Comput. 11, 195-204, 1991.Zeilberger, D. "闭合形式（双关语！）。" Contemporary Math. 143, 579-607, 1993.

在 中被引用

Wilf-Zeilberger 对

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "Wilf-Zeilberger 对。" 来自 —— 资源。 https://mathworld.net.cn/Wilf-ZeilbergerPair.html

学科分类