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Wilf-Zeilberger 对

一对 闭合形式 函数 (F,G) 被称为 Wilf-Zeilberger 对，如果

F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k).
(1)

Wilf-Zeilberger 形式体系为 已知 恒等式提供了简洁的证明，并且当它成功为 已知 恒等式找到证明证书时，允许发现新的恒等式。然而，如果起点是一个未知的超几何和，那么 Wilf-Zeilberger 方法无法发现闭合形式解，而 Zeilberger 算法 可以。

Wilf-Zeilberger 对在证明 超几何恒等式 形式的恒等式中非常有用

sum_(k)t(n,k)=rhs(n)
(2)

对于这种形式，加数 t(n,k) 对于所有 k 在某个有限区间之外时消失。现在除以右侧得到

sum_(k)F(n,k)=1,
(3)

其中

F(n,k)=(t(n,k))/(rhs(n)).
(4)

现在使用 有理函数 R(n,k) 由 Zeilberger 算法提供，定义

G(n,k)=R(n,k)F(n,k).
(5)

恒等式 (◇) 随之得出。将关系式对所有整数求和，则右侧伸缩为 0，得到

sum_(k)F(n+1,k)=sum_(k)F(n,k).
(6)

因此，sum_(k)F(n,k) 与 n 无关，因此必须是一个常数。如果 F 被正确归一化，那么 sum_(k)F(0,k)=1 将为真。

例如，考虑二项式系数恒等式

sum_(k=0)^n(n; k)=2^n,
(7)

R(n,k) 由 Zeilberger 算法返回的函数 是

R(n,k)=k/(2(k-n-1)).
(8)

因此，

F(n,k)=(n; k)2^(-n)
(9)

和

G(n,k)=R(n,k)F(n,k)
(10)
=k/(2(k-n-1))(n; k)2^(-n)
(11)
=-(kn!2^(-n))/(2(n+1-k)k!(n-k)!)
(12)
=-(n; k-1)2^(-n-1).
(13)

取

F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k)
(14)

然后给出所谓的恒等式

(n+1; k)2^(-n-1)-(n; k)2^(-n)=-(n; k)2^(-n-1)+(n; k-1)2^(-n-1)?
(15)

展开和计算表明该恒等式确实成立，并且也可以验证

F(0,k)=(0; k)={1 for k=0; 0 otherwise,
(16)

因此 sum_(k)F(0,k)=1 (Petkovšek et al. 1996, pp. 25-27)。

对于任何 Wilf-Zeilberger 对 (F,G)，

sum_(n=0)^inftyG(n,0)=sum_(n=1)^infty[F(n,n-1)+G(n-1,n-1)]
(17)

只要任一侧收敛 (Zeilberger 1993)。此外，

sum_(n=0)^inftyG(n,0)=sum_(n=0)^infty[F(s(n+1),n)+sum_(i=0)^(s-1)G(sn+i,n)] -lim_(n->infty)sum_(k=0)^(n-1)F(sn,k)
(18)
sum_(k=0)^inftyF(0,k)=sum_(n=0)^inftyG(n,0)-lim_(k->infty)sum_(n=0)^kG(n,k),
(19)

和

sum_(n=0)^inftyG(n,0)=sum_(n=0)^infty[sum_(j=0)^(t-1)F(s(n+1),tn+j)+sum_(i=0)^(s-1)G(sn+i,tn)]-lim_(n->infty)sum_(k=0)^(n-1)F_(s,t)(n,k),
(20)

其中

F_(s,t)(n,k)=sum_(j=0)^(t-1)F(sn,tk+j)
(21)
G_(s,t)(n,k)=sum_(i=0)^(s-1)G(sn+i,tk)
(22)

(Amdeberhan 和 Zeilberger 1997)。后一个恒等式已被用于计算 Apéry 常数到很多位小数 (Wedeniwski)。

另请参阅

Apéry 常数, 收敛加速, Gosper 算法, Sister Celine 方法, Zeilberger 算法

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Amdeberhan, T. and Zeilberger, D. "通过 WZ 方法加速超几何级数。" Electronic J. Combinatorics 4, No. 2, R3, 1-3, 1997. http://www.combinatorics.org/Volume_4/Abstracts/v4i2r3.html. Also available at http://www.math.temple.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/accel.html.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. "Wilf-Zeilberger 算法。" §3.1 in 行动中的实验数学。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 53-55, 2007.Cipra, B. A. "格林奇如何偷走数学。" Science 245, 595, 1989.Koepf, W. "m 重超几何求和的算法。" J. Symb. Comput. 20, 399-417, 1995.Koepf, W. "Wilf-Zeilberger 方法。" Ch. 6 in 超几何求和：求和与特殊函数恒等式的算法方法。 Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 80-92, 1998.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. "WZ 现象。" Ch. 7 in A=B。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 121-140, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Wedeniwski, S. "Zeta(3) 的 128000026 位数字。" http://pi.lacim.uqam.ca/eng/records_en.html.Wilf, H. S. and Zeilberger, D. "有理函数证明组合恒等式。" J. Amer. Math. Soc. 3, 147-158, 1990.Zeilberger, D. "创造性伸缩法。" J. Symb. Comput. 11, 195-204, 1991.Zeilberger, D. "闭合形式（双关语！）。" Contemporary Math. 143, 579-607, 1993.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Wilf-Zeilberger 对

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "Wilf-Zeilberger 对。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Wilf-ZeilbergerPair.html

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