升阶乘

升阶乘 , 有时也记为 (Comtet 1974, p. 6) 或 (Graham et al. 1994, p. 48)，定义为

(1)

此函数也称为升阶乘幂 (Graham et al. 1994, p. 48)，在特殊函数理论中常被称为 Pochhammer 符号。升阶乘在 Wolfram 语言 中实现为Pochhammer[x, n].

升阶乘与 伽玛函数 相关，关系式为

(2)

其中

(3)

并且与 降阶乘 相关，关系式为

(4)

因此，通常的 阶乘 与升阶乘的关系为

(5)

对于非负整数 (Graham et al. 1994, p. 48)。

请注意，在组合数学用法中，降阶乘 记为 ，升阶乘记为 (Comtet 1974, p. 6; Roman 1984, p. 5; Hardy 1999, p. 101)，然而在 有限差分 微积分和特殊函数理论中，降阶乘 记为 ，升阶乘记为 (Roman 1984, p. 5; Abramowitz and Stegun 1972, p. 256; Spanier 1987)。因此在解释符号 和 的含义时需要格外小心。在本作品中，符号 用于表示升阶乘，尽管 Pochhammer 符号 是升阶乘的另一个名称，但它通常用 表示。

升阶乘出现在 超几何函数 和 广义超几何函数 的级数展开中。

前几个升阶乘为

			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)

升阶乘的 导数 为

(11)

其中 是 双伽玛函数。