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前向差分

前向差分是由以下公式定义的有限差分

Deltaa_n=a_(n+1)-a_n.
(1)

高阶差分通过重复应用前向差分算子获得，

Delta^ka_n=Delta^(k-1)a_(n+1)-Delta^(k-1)a_n,
(2)

因此

Delta^2a_n=Delta_n^2
(3)
=Delta(Delta_n)
(4)
=Delta(a_(n+1)-a_n)
(5)
=Delta_(n+1)-Delta_n
(6)
=a_(n+2)-2a_(n+1)+a_n.
(7)

一般来说，

Delta_n^k=Delta^ka_n=sum_(i=0)^k(-1)^i(k; i)a_(n+k-i),
(8)

其中 (k; m) 是一个二项式系数 (Sloane and Plouffe 1995, p. 10)。

前向有限差分在 Wolfram 语言 中被实现为DifferenceDelta[f, i]。

牛顿前向差分公式将 a_n 表示为第 n 阶前向差分之和

a_n=a_0+nDelta_0+1/(2!)n(n+1)Delta_0^2+1/(3!)n(n+1)(n+2)Delta_0^3+...
(9)

其中 Delta_0^n 是从差分表中计算出的第一个第 n 阶差分。此外，如果差分 a_m, Deltaa_m, Delta^2a_m, ..., 对于某个固定的 m 值是已知的，那么第 n 项的公式由下式给出

a_(n+m)=sum_(k=0)^n(n; k)Delta^ka_m
(10)

(Sloane and Plouffe 1985, p. 10)。

另请参阅

后向差分, 中心差分, 差分方程, 均差, 牛顿前向差分公式, 倒数差分

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 877, 1972.Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego, CA: Academic Press, p. 10, 1995.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

前向差分

引用为

Weisstein, Eric W. "前向差分。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ForwardDifference.html

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