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Celine 修女方法

一种直接从多项式的级数展开式中找到超几何多项式的递推关系的方法。该方法有效且易于实现，但通常比 Zeilberger 算法慢。给定一个和式 f(n)=sum_(k)F(n,k)，该方法通过找到以下形式的递推关系来运作

sum_(i=0)^Isum_(j=0)^Ja_(ij)(n)F(n-j,k-i)=0

通过以下步骤进行（Petkovšek et al. 1996, p. 59）

1. 确定 I 和 J 的试验值。

2. 假设上述形式的递推公式，其中 a_(ij)(n) 是待求解的系数。

3. 将假设的递推式的每一项除以 F(n,k)，并通过简化其组成阶乘的比率来化简每个比率 F(n-j,k-i)/F(n,k)，使得只剩下关于 n 和 k 的有理函数。

4. 将得到的表达式放在一个公共分母上，然后将分子收集为关于 k 的多项式。

5. 解线性方程组，该方程组是通过将分子中 k 的每个幂的系数设置为 0 而得到的，求解未知系数 a_(ij)。

6. 如果没有得到解，则使用更大的 I 或 J 重新开始。

在适当的假设下，“基本定理”（Verbaten 1974, Wilf 和 Zeilberger 1992, Petkovšek et al. 1996）保证对于足够大的 I 和 J（可以预先估计）此算法总是成功。该定理也推广到多元和以及 q- 和多-q- 和（Wilf 和 Zeilberger 1992, Petkovšek et al. 1996）。

参见

广义超几何函数, Gosper 算法, 超几何恒等式, 超几何级数, Zeilberger 算法

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参考文献

Fasenmyer, Sister M. C. Some Generalized Hypergeometric Polynomials. Ph.D. thesis. University of Michigan, Nov. 1945.Fasenmyer, Sister M. C. "Some Generalized Hypergeometric Polynomials." Bull. Amer. Math. Soc. 53, 806-812, 1947.Fasenmyer, Sister M. C. "A Note on Pure Recurrence Relations." Amer. Math. Monthly 56, 14-17, 1949.Koepf, W. "Holonomic Recurrence Equations." Ch. 4 in Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 44-60, 1998.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. "Sister Celine's Method." Ch. 4 in A=B. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 55-72, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Rainville, E. D. Chs. 14 and 18 in Special Functions. New York: Chelsea, 1971.Verbaten, P. "The Automatic Construction of Pure Recurrence Relations." Proc. EUROSAM '74, ACM-SIGSAM Bull. 8, 96-98, 1974.Wilf, H. S. and Zeilberger, D. "An Algorithmic Proof Theory for Hypergeometric (Ordinary and "q") Multisum/Integral Identities." Invent. Math. 108, 575-633, 1992.

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Celine 修女方法

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "Celine 修女方法。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SisterCelinesMethod.html

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