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克劳森公式

克劳森恒等式 _4F_3

_4F_3(a,b,c,d; e,f,g;1)=((2a)_(|d|)(a+b)_(|d|)(2b)_(|d|))/((2a+2b)_(|d|)a_(|d|)b_(|d|)),
(1)

在以下条件下成立 a+b+c-d=1/2, e=a+b+1/2, a+f=d+1=b+g, 其中 d 为非正整数，并且 (a)_n 是 普奇哈默符号 (Petkovšek et al. 1996)。密切相关的恒等式包括

_4F_3[1/2a,1/2(a+1),b+n,-n; 1/2b,1/2(b+1),a+1;1]=((b-a)_n)/((b)_n)
(2)

和

_4F_3[1/2a,1/2(a+1),b+n,-n; 1/2(b+1),1/2(b+2),a;1]=((b-a+1)_n)/((b+1)_(n-1)(b+2n))
(3)

(Bailey 1935; Slater 1966, p. 245; Andrews and Burge 1993)。

另一个归因于克劳森的恒等式，涉及超几何函数 _2F_1(a,b;c;z) 和广义超几何函数 _3F_2(a,b,c;d,e;z) ，由下式给出

(_2F_1[a,b; a+b+1/2;x])^2=_3F_2[2a,a+b,2b; a+b+1/2,2a+2b;x]
(4)

(Clausen 1828; Bailey 1935, p. 86; Hardy 1999, p. 106)。

另请参阅

广义超几何函数, 超几何函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Andrews, G. E. 和 Burge, W. H. "行列式恒等式。" Pacific J. Math. 158, 1-14, 1993.Bailey, W. N. 广义超几何级数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1935.Clausen, T. "关于级数 y=1+(alpha·beta)/(1·gamma)x+... 为 x=1+(alpha^'beta^'gamma^')/(1·delta^'epsilon^')x+... 平方的情况。" J. für Math. 3, 89-95, 1828.Hardy, G. H. 拉马努金：关于其生平和著作启发的十二讲，第 3 版。 New York: Chelsea, 1999.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; 和 Zeilberger, D. A=B。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 43 和 127, 1996.Slater, L. J. 广义超几何函数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

克劳森公式

请引用为

Weisstein, Eric W. "克劳森公式。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ClausenFormula.html

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