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Saalschütz 定理


Saalschütz 定理是广义超几何函数恒等式

 _3F_2[a,b,-n; c,1+a+b-c-n;1]=((c-a)_n(c-b)_n)/((c)_n(c-a-b)_n)
(1)

它对于 n 非负整数成立,其中 (a)_n波赫哈默尔符号(Saalschütz 1890;Bailey 1935,第 9 页)。

该恒等式有时也写作

 _3F_2[a,b,c; d,e;1]=((d-a)_(|c|)(d-b)_(|c|))/((d)_(|c|)(d-a-b)_(|c|))
(2)

(Bailey 1935,第 9 页;Petkovšek et al. 1996,第 43 页),其中

 a+b+c+1=d+e
(3)

c非正整数

Saalschütz 定理可以从 Dougall-Ramanujan 恒等式推导出来。

如果 abc 中的一个或两个是非正整数,则可以使用定义的形式

 a+b+c+1=d+e
(4)

它在 (a,b,c)(d,e) 中是对称的,可以由下式给出

 _3F_2[a,b,c; d,e;1]=(Gamma(d))/(Gamma(d-a)Gamma(d-b)Gamma(d-c))(Gamma(e))/(Gamma(e-a)Gamma(e-b)Gamma(e-c))(pi^2)/(cos(pid)cos(pie)+cos(pia)cos(pib)cos(pic))
(5)

(W. Gosper,私人通信,可能在 1990 年代后期)。

如果相反

 a+b+c+2=d+e,
(6)

 _3F_2[a,b,c; d,e;1]=pi^2(Gamma(d))/(Gamma(d-a)Gamma(d-b)Gamma(d-c))(Gamma(e))/(Gamma(e-a)Gamma(e-b)Gamma(e-c))(de-(a+1)(b+1)(c+1)+abc)/(cos(pid)cos(pie)-cos(pia)cos(pib)cos(pic))
(7)

(W. Gosper,私人通信,可能在 1990 年代后期)。


另请参阅

Dougall-Ramanujan 恒等式广义超几何函数库默尔定理

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参考文献

Bailey, W. N. "Saalschütz's Theorem." §2.2 in Generalised Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 9, 1935.Dougall, J. "On Vandermonde's Theorem and Some More General Expansions." Proc. Edinburgh Math. Soc. 25, 114-132, 1907.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, p. 104, 1999.Koepf, W. Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 32, 1998.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 43 and 126, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Saalschütz, L. "Eine Summationsformel." Z. für Math. u. Phys. 35, 186-188, 1890.Saalschütz, L. "Über einen Spezialfall der hypergeometrischen Reihe dritter Ordnung." Z. für Math. u. Phys. 36, 278-295 and 321-327, 1891.Shepard, W. F. "Summation of the Coefficients of Some Terminating Hypergeometric Series." Proc. London Math. Soc. 10, 469-478, 1912.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Saalschütz 定理

请引用为

Weisstein,Eric W. “Saalschütz 定理。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。https://mathworld.net.cn/SaalschuetzsTheorem.html

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