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q-超几何函数

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q-超几何函数的现代定义是

_rphi_s[alpha_1,alpha_2,...,alpha_r; beta_1,...,beta_s;q,z] =sum_(n=0)^infty((alpha_1;q)_n(alpha_2;q)_n...(alpha_r;q)_n)/((beta_1;q)_n...(beta_s;q)_n)(z^n)/((q;q)_n)[(-1)^nq^((n; 2))]^(1+s-r),
(1)

其中 (n; 2)=1/2n(n-1) 是二项式系数，而是 (a;q)_n q-Pochhammer 符号（Gasper 和 Rahman 1990；Bhatnagar 1995，第 21 页；Koepf 1998，第 25 页）。这是在 Wolfram 语言中实现的 q-超几何函数的版本，表示为QHypergeometricPFQ[{a1, ..., ar}, {b1, ..., bs}, q, z].

较旧的定义形式省略了因子 [(-1)^kq^((n; 2))]^(1+s-r),

_rphi_s^'[alpha_1,alpha_2,...,alpha_r; beta_1,...,beta_s;q,z]=sum_(n=0)^infty((alpha_1;q)_n(alpha_2;q)_n...(alpha_r;q)_n)/((beta_1;q)_n...(beta_s;q)_n)(z^n)/((q;q)_n),
(2)

这是 Bailey (1935)、Slater (1966)、Andrews (1986) 和 Hardy (1999) 定义的 q-超几何函数。

请注意，当 r=1+s 时，这两个定义一致，包括常见的情况 _2phi_1(a,b;c;q)。

_rphi_s 的一个特殊情况由下式给出

_2psi_1(a,b;c;q,z)=sum_(n=0)^infty((a;q)_n(b;q)_nz^n)/((q;q)_n(c;q)_n)
(3)

（Andrews 1986，第 10 页）。Jacobi 和 Heine 给出的高斯定理的 q-模拟（q-高斯恒等式）由下式给出

_2phi_1(a,b;c;q,c/(ab))=((c/a;q)_infty(c/b;q)_infty)/((c;q)_infty(c/(ab);q)_infty)
(4)

对于 |c/(ab)|<1（Koepf 1998，第 40 页）。海涅证明了变换公式

_2phi_1(a,b;c;q,z)=((b;q)_infty(az;q)_infty)/((c;q)_infty(z;q)_infty)_2phi_1(c/b,z;az;q,b),
(5)

（Andrews 1986，第 10-11 页）。Rogers (1893) 获得了公式

_2phi_1(a,b;c;q,z)=((c/b;q)_infty(bz;q)_infty)/((z;q)_infty(c;q)_infty)_2phi_1(b,abz/c;bz;q,c/b)
(6)
_2phi_1(a,b,c;q,z)=((abz/c;q)_infty)/((z;q)_infty)_2phi_1(c/a,c/b;c;q,abz/c)
(7)

（Andrews 1986，第 10-11 页）。

函数 _rphi_s 具有简单的合流恒等式

lim_(alpha_r->infty)_rphi_s[alpha_1,alpha_2,...,alpha_r; beta_1,...,beta_s;q,z/(alpha_r)]=_(r-1)phi_s[alpha_1,alpha_2,...,alpha_(r-1); beta_1,...,beta_s;q,z].
(8)

在极限 q->1^- 下，

lim_(q->1^-)_rphi_s[q^(alpha_1),q^(alpha_2),...,q^(alpha_r); q^(beta_1),...,q^(beta_s);q,(q-1)^(1+s-r)z]=_rF_s[alpha_1,alpha_2,...,alpha_r; beta_1,...,beta_s;z],
(9)

其中 _rF_s 是广义超几何函数（Koepf 1998，第 25 页）。

另请参阅

广义超几何函数, q-Pochhammer 符号, q-Saalschütz 求和, q-级数

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参考文献

Andrews, G. E. q-级数：它们在分析、数论、组合数学、物理学和计算机代数中的发展和应用。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 第 10 页, 1986.Bailey, W. N. "基本超几何级数。" 第 8 章，广义超几何级数。Cambridge, England: Cambridge University Press, 第 65-72 页, 1935.Bhatnagar, G. 逆关系、广义双基级数及其 U(n) 扩展。 博士论文。Ohio State University, 第 21 页, 1995.Gasper, G. 和 Rahman, M. 基本超几何级数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Gasper, G. "q-级数的求和与变换公式的初等推导。" 收录于 Fields Inst. Comm. 14 (M. E. H. Ismail et al. 编), 第 55-70 页, 1997.Hardy, G. H. 拉马努金：关于其生平和工作启发的十二次讲座，第 3 版。 New York: Chelsea, 第 107-111 页, 1999.Heine, E. "Über die Reihe 1+((q^alpha-1)(q^beta-1))/((q-1)(q^gamma-1))x +((q^alpha-1)(q^(alpha+1)-1)(q^beta-1)(q^(beta+1)-1))/((q-1)(q^2-1)(q^gamma-1)(q^(gamma+1)-1))x^2+...." J. reine angew. Math. 32, 210-212, 1846.Heine, E. "Untersuchungen über die Reihe 1+((1-q^alpha)(1-q^beta))/((1-q)(1-q^gamma))·x+((1-q^alpha)(1-q^(alpha+1))(1-q^beta)(1-q^(beta+1)))/((1-q)(1-q^2)(1-q^gamma)(1-q^(gamma+1)))·x^2+...." J. reine angew. Math. 34, 285-328, 1847.Heine, E. 球函数及其相关函数理论，卷 1。 Berlin: Reimer, 第 97-125 页, 1878.Koepf, W. 超几何求和：求和与特殊函数恒等式的算法方法。 Braunschweig, Germany: Vieweg, 第 25-26 页, 1998.Krattenthaler, C. "HYP 和 HYPQ。" J. Symb. Comput. 20, 737-744, 1995.Rogers, L. J. "关于海涅级数元素中的三重对称性。" Proc. London Math. Soc. 24, 171-179, 1893.Slater, L. J. 广义超几何函数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

q-超几何函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "q-超几何函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/q-HypergeometricFunction.html

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