托梅定理

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托梅定理，也称为托梅变换，是广义超几何函数恒等式

(1)

其中是伽玛函数，是一个广义超几何函数，

(2)

并且 (Bailey 1935, p. 14)。它是狄克逊定理的推广 (Slater 1966, p. 52)。

一个等价的表述由下式给出

(Gamma(x+y+s+1))/(Gamma(x+s+1)Gamma(y+s+1))_3F_2(-a,-b,x+y+s+1; x+s+1,y+s+1;1)
=(Gamma(a+b+s+1))/(Gamma(a+s+1)Gamma(b+s+1))_3F_2(-x,-y,a+b+s+1; a+s+1,b+s+1;1)

(3)

(Hardy 1999, p. 104)。拉马努金在他的恒等式证明中使用了这种形式的对称性，这与托梅定理基本相同。有趣的是，这是拉马努金对他的命题给出明确证明的少数情况之一 (Hardy 1999, p. 104)。

该定理的一个特例由下式给出

1/a_3F_2[1,a,b; a+1,d]=1/a_3F_2[a,1,b; a+1,d]
=(Gamma(a+1)Gamma(d)Gamma(d-b))/(Gamma(a)Gamma(d-b+1)Gamma(d))1/a_3F_2[d-b,1,d-a; d-b+1,d]
=1/(d-b)_3F_2[d-b,1,d-a; d-b+1,d]
=1/(d-b)_3F_2[1,d-b,d-a; d-b+1,d]

(4)

(J. Sondow，私人通讯，2003 年 5 月 25 日)。

另请参阅

高斯超几何定理, 广义超几何函数

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参考文献

Bailey, W. N. 广义超几何级数。 Cambridge, England: University Press, 1935.Hardy, G. H. "拉马努金笔记本中的一章。" Proc. Cambridge Philos. Soc. 21, 492-503, 1923.Hardy, G. H. 拉马努金：关于其生平和工作启发的十二讲座，第三版。 New York: Chelsea, pp. 104-105, 1999.Slater, L. J. 广义超几何函数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 52, 1966.Thomae, J. "关于用以下形式的级数表示的函数：

." J. für Math. 87, 26-73, 1879.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

托梅定理

请引用为

Weisstein, Eric W. "托梅定理。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ThomaesTheorem.html

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