主题
Search

傅里叶变换

下载 Mathematica 笔记本下载 Wolfram 笔记本

傅里叶变换是复数傅里叶级数在 L->infty 极限情况下的推广。将离散的 A_n 替换为连续的 F(k)dk，同时令 n/L->k。然后将求和变为积分，方程变为

f(x)=int_(-infty)^inftyF(k)e^(2piikx)dk
(1)
F(k)=int_(-infty)^inftyf(x)e^(-2piikx)dx.
(2)

这里，

F(k)=F_x[f(x)](k)
(3)
=int_(-infty)^inftyf(x)e^(-2piikx)dx
(4)

被称为正向 (-i) 傅里叶变换，而

f(x)=F_k^(-1)[F(k)](x)
(5)
=int_(-infty)^inftyF(k)e^(2piikx)dk
(6)

被称为逆向 (+i) 傅里叶变换。Trott (2004, p. xxxiv) 引入了符号 F_x[f(x)](k)，并且有时也使用 f^^(k) 和 f^_(x) 分别表示傅里叶变换和逆傅里叶变换（Krantz 1999, p. 202）。

请注意，一些作者（尤其是物理学家）更喜欢用角频率 omega=2pinu 而不是振荡频率 nu 来表示变换。然而，这破坏了对称性，导致变换对为

H(omega)=F[h(t)]
(7)
=int_(-infty)^inftyh(t)e^(-iomegat)dt
(8)
h(t)=F^(-1)[H(omega)]
(9)
=1/(2pi)int_(-infty)^inftyH(omega)e^(iomegat)domega.
(10)

为了恢复变换的对称性，有时使用约定

g(y)=F[f(t)]
(11)
=1/(sqrt(2pi))int_(-infty)^inftyf(t)e^(-iyt)dt
(12)
f(t)=F^(-1)[g(y)]
(13)
=1/(sqrt(2pi))int_(-infty)^inftyg(y)e^(iyt)dy
(14)

（Mathews 和 Walker 1970, p. 102）。

一般来说，傅里叶变换对可以使用两个任意常数 a 和 b 定义为

F(omega)=sqrt((|b|)/((2pi)^(1-a)))int_(-infty)^inftyf(t)e^(ibomegat)dt
(15)
f(t)=sqrt((|b|)/((2pi)^(1+a)))int_(-infty)^inftyF(omega)e^(-ibomegat)domega.
(16)

函数 f(x) 的傅里叶变换 F(k) 在 Wolfram 语言 中实现为FourierTransform[f, x, k]，并且可以通过传递可选的FourierParameters->{a, b} 选项来使用不同的 a 和 b 选择。默认情况下，Wolfram 语言 采用FourierParameters为 (0,1)。不幸的是，许多其他约定也被广泛使用。例如，(0,1) 用于现代物理学，(1,-1) 用于纯数学和系统工程，(1,1) 用于概率论中计算特征函数，(-1,1) 用于经典物理学，而 (0,-2pi) 用于信号处理。在这项工作中，按照 Bracewell (1999, pp. 6-7) 的说法，总是假设 a=0 和 b=-2pi，除非另有说明。这种选择通常会大大简化常见函数（如 1，cos(2pik_0x) 等）的变换。

由于任何函数都可以分解为偶部分和奇部分 E(x) 和 O(x)，

f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]
(17)
=E(x)+O(x),
(18)

傅里叶变换始终可以用傅里叶余弦变换和傅里叶正弦变换表示为

F_x[f(x)](k)=int_(-infty)^inftyE(x)cos(2pikx)dx-iint_(-infty)^inftyO(x)sin(2pikx)dx.
(19)

函数 f(x) 具有正向和逆向傅里叶变换，使得

f(x)={int_(-infty)^inftye^(2piikx)[int_(-infty)^inftyf(x)e^(-2piikx)dx]dk for f(x) continuous at x; 1/2[f(x_+)+f(x_-)] for f(x) discontinuous at x,
(20)

前提是

1. int_(-infty)^infty|f(x)|dx 存在。

2. 存在有限数量的不连续点。

3. 函数具有有界变差。一个充分但较弱的条件是满足李普希茨条件

（Ramirez 1985, p. 29）。函数越平滑（即，连续导数的数量越多），其傅里叶变换就越紧凑。

傅里叶变换是线性的，因为如果 f(x) 和 g(x) 具有傅里叶变换 F(k) 和 G(k)，则

int[af(x)+bg(x)]e^(-2piikx)dx=aint_(-infty)^inftyf(x)e^(-2piikx)dx+bint_(-infty)^inftyg(x)e^(-2piikx)dx
(21)
=aF(k)+bG(k).
(22)

因此，

F[af(x)+bg(x)]=aF[f(x)]+bF[g(x)]
(23)
=aF(k)+bG(k).
(24)

傅里叶变换也是对称的，因为 F(k)=F_x[f(x)](k) 意味着 F(-k)=F_x[f(-x)](k)。

设 f*g 表示卷积，则函数卷积的变换具有特别好的变换，

F[f*g]=F[f]F[g]
(25)
F[fg]=F[f]*F[g]
(26)
F^(-1)[F(f)F(g)]=f*g
(27)
F^(-1)[F(f)*F(g)]=fg.
(28)

第一个的推导如下

F[f*g]=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftye^(-2piikx)f(x^')g(x-x^')dx^'dx
(29)
=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^infty[e^(-2piikx^')f(x^')dx^'][e^(-2piik(x-x^'))g(x-x^')dx]
(30)
=[int_(-infty)^inftye^(-2piikx^')f(x^')dx^'][int_(-infty)^inftye^(-2piikx^(''))g(x^(''))dx^('')]
(31)
=F[f]F[g],
(32)

其中 x^('')=x-x^'。

在自相关和傅里叶变换之间也存在一个有些令人惊讶且极其重要的关系，称为维纳-辛钦定理。设 F_x[f(x)](k)=F(k)，并且 f^_ 表示 f 的复共轭，则 F(k) 的绝对平方的傅里叶变换由下式给出

F_k[|F(k)|^2](x)=int_(-infty)^inftyf^_(tau)f(tau+x)dtau.
(33)

函数 f(x) 的导数 f^'(x) 的傅里叶变换与其自身函数 f(x) 的变换简单相关。考虑

F_x[f^'(x)](k)=int_(-infty)^inftyf^'(x)e^(-2piikx)dx.
(34)

现在使用分部积分法

intvdu=[uv]-intudv
(35)

其中

du=f^'(x)dx
(36)
v=e^(-2piikx)
(37)

和

u=f(x)
(38)
dv=-2piike^(-2piikx)dx,
(39)

则

F_x[f^'(x)](k)=[f(x)e^(-2piikx)]_(-infty)^infty-int_(-infty)^inftyf(x)(-2piike^(-2piikx)dx).
(40)

第一项由一个振荡函数乘以 f(x) 组成。但是如果函数是有界的，使得

lim_(x->+/-infty)f(x)=0
(41)

（正如任何物理上重要的信号必须如此），那么该项消失，留下

F_x[f^'(x)](k)=2piikint_(-infty)^inftyf(x)e^(-2piikx)dx
(42)
=2piikF_x[f(x)](k).
(43)

对于 n 阶导数，可以迭代此过程以产生

F_x[f^((n))(x)](k)=(2piik)^nF_x[f(x)](k).
(44)

傅里叶变换的重要调制定理允许 F_x[cos(2pik_0x)f(x)](k) 用 F_x[f(x)](k)=F(k) 表示如下，

F_x[cos(2pik_0x)f(x)](k)=int_(-infty)^inftyf(x)cos(2pik_0x)e^(-2piikx)dx
(45)
=1/2int_(-infty)^inftyf(x)e^(2piik_0x)e^(-2piikx)dx+1/2int_(-infty)^inftyf(x)e^(-2piik_0x)e^(-2piikx)dx
(46)
=1/2int_(-infty)^inftyf(x)e^(-2pii(k-k_0)x)dx+1/2int_(-infty)^inftyf(x)e^(-2pii(k+k_0)x)dx
(47)
=1/2[F(k-k_0)+F(k+k_0)].
(48)

由于傅里叶变换的导数由下式给出

F^'(k)=d/(dk)F_x[f(x)](k)=int_(-infty)^infty(-2piix)f(x)e^(-2piikx)dx,
(49)

因此得出

F^'(0)=-2piiint_(-infty)^inftyxf(x)dx.
(50)

迭代得到一般公式

mu_n=int_(-infty)^inftyx^nf(x)dx
(51)
=(F^((n))(0))/((-2pii)^n).
(52)

傅里叶变换的方差为

sigma_f^2=<(xf-<xf>)^2>,
(53)

并且以下等式成立

sigma_(f+g)=sigma_f+sigma_g.
(54)

如果 f(x) 具有傅里叶变换 F_x[f(x)](k)=F(k)，则傅里叶变换具有平移性质

int_(-infty)^inftyf(x-x_0)e^(-2piikx)dx=int_(-infty)^inftyf(x-x_0)e^(-2pii(x-x_0)k)e^(-2pii(kx_0))d(x-x_0)
(55)
=e^(-2piikx_0)F(k),
(56)

因此 f(x-x_0) 具有傅里叶变换

F_x[f(x-x_0)](k)=e^(-2piikx_0)F(k).
(57)

如果 f(x) 具有傅里叶变换 F_x[f(x)](k)=F(k)，则傅里叶变换服从相似性定理。

int_(-infty)^inftyf(ax)e^(-2piikx)dx=1/(|a|)int_(-infty)^inftyf(ax)e^(-2pii(ax)(k/a))d(ax)=1/(|a|)F(k/a),
(58)

因此 f(ax) 具有傅里叶变换

F_x[f(ax)](k)=|a|^(-1)F(k/a).
(59)

傅里叶变换的“等效宽度”为

w_e=(int_(-infty)^inftyf(x)dx)/(f(0))
(60)
=(F(0))/(int_(-infty)^inftyF(k)dk).
(61)

“自相关宽度”为

w_a=(int_(-infty)^inftyf*f^_dx)/([f*f^_]_0)
(62)
=(int_(-infty)^inftyfdxint_(-infty)^inftyf^_dx)/(int_(-infty)^inftyff^_dx),
(63)

其中 f*g 表示 f 和 g 的互相关，并且 f^_ 是复共轭。

对 f(x) 的任何操作，只要其面积保持不变，就会使 F(0) 保持不变，因为

int_(-infty)^inftyf(x)dx=F_x[f(x)](0)=F(0).
(64)

下表总结了一些常见的傅里叶变换对。

函数f(x)F(k)=F_x[f(x)](k)
傅里叶变换--11delta(k)
傅里叶变换--余弦cos(2pik_0x)1/2[delta(k-k_0)+delta(k+k_0)]
傅里叶变换--狄拉克δ函数delta(x-x_0)e^(-2piikx_0)
傅里叶变换--指数函数e^(-2pik_0|x|)1/pi(k_0)/(k^2+k_0^2)
傅里叶变换--高斯函数e^(-ax^2)sqrt(pi/a)e^(-pi^2k^2/a)
傅里叶变换--单位阶跃函数H(x)1/2[delta(k)-i/(pik)]
傅里叶变换--反函数-PV1/(pix)i[1-2H(-k)]
傅里叶变换--洛伦兹函数1/pi(1/2Gamma)/((x-x_0)^2+(1/2Gamma)^2)e^(-2piikx_0-Gammapi|k|)
傅里叶变换--斜坡函数R(x)piidelta^'(2pik)-1/(4pi^2k^2)
傅里叶变换--正弦sin(2pik_0x)1/2i[delta(k+k_0)-delta(k-k_0)]

在二维中，傅里叶变换变为

F(x,y)=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyf(k_x,k_y)e^(-2pii(k_xx+k_yy))dk_xdk_y
(65)
f(k_x,k_y)=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyF(x,y)e^(2pii(k_xx+k_yy))dxdy.
(66)

类似地，可以为 k, x in R^n 定义 n 维傅里叶变换，如下所示

F(x)=int_(-infty)^infty...int_(-infty)^infty_()_(n)f(k)e^(-2piik·x)d^nk
(67)
f(k)=int_(-infty)^infty...int_(-infty)^infty_()_(n)F(x)e^(2piik·x)d^nx.
(68)

参见

自相关, 卷积, 离散傅里叶变换, 快速傅里叶变换, 傅里叶级数, 傅里叶-斯蒂尔杰斯变换, 傅里叶变换--1, 傅里叶变换--余弦, 傅里叶变换--狄拉克δ函数, 傅里叶变换--指数函数, 傅里叶变换--高斯函数, 傅里叶变换--单位阶跃函数, 傅里叶变换--反函数, 傅里叶变换--洛伦兹函数, 傅里叶变换--斜坡函数, 傅里叶变换--矩形函数, 分数傅里叶变换, 汉克尔变换, 哈特利变换, 积分变换, 拉普拉斯变换, 帕塞瓦尔定理, 结构因子, 维纳-辛钦定理, 维诺格拉德变换 在 MathWorld 课堂中探索此主题

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Arfken, G. "Development of the Fourier Integral," "Fourier Transforms--Inversion Theorem," and "Fourier Transform of Derivatives." §15.2-15.4 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 794-810, 1985.Blackman, R. B. and Tukey, J. W. The Measurement of Power Spectra, From the Point of View of Communications Engineering. New York: Dover, 1959.Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, 1999.Brigham, E. O. The Fast Fourier Transform and Applications. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1988.Folland, G. B. Real Analysis: Modern Techniques and their Applications, 2nd ed. New York: Wiley, 1999.James, J. F. A Student's Guide to Fourier Transforms with Applications in Physics and Engineering. New York: Cambridge University Press, 1995.Kammler, D. W. A First Course in Fourier Analysis. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000.Körner, T. W. Fourier Analysis. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1988.Krantz, S. G. "The Fourier Transform." §15.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 202-212, 1999.Mathews, J. and Walker, R. L. Mathematical Methods of Physics, 2nd ed. Reading, MA: W. A. Benjamin/Addison-Wesley, 1970.Morrison, N. Introduction to Fourier Analysis. New York: Wiley, 1994.Morse, P. M. and Feshbach, H. "Fourier Transforms." §4.8 in Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 453-471, 1953.Oberhettinger, F. Fourier Transforms of Distributions and Their Inverses: A Collection of Tables. New York: Academic Press, 1973.Papoulis, A. The Fourier Integral and Its Applications. New York: McGraw-Hill, 1962.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1989.Ramirez, R. W. The FFT: Fundamentals and Concepts. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1985.Sansone, G. "The Fourier Transform." §2.13 in Orthogonal Functions, rev. English ed. New York: Dover, pp. 158-168, 1991.Sneddon, I. N. Fourier Transforms. New York: Dover, 1995.Sogge, C. D. Fourier Integrals in Classical Analysis. New York: Cambridge University Press, 1993.Spiegel, M. R. Theory and Problems of Fourier Analysis with Applications to Boundary Value Problems. New York: McGraw-Hill, 1974.Stein, E. M. and Weiss, G. L. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1971.Strichartz, R. Fourier Transforms and Distribution Theory. Boca Raton, FL: CRC Press, 1993.Titchmarsh, E. C. Introduction to the Theory of Fourier Integrals, 3rd ed. Oxford, England: Clarendon Press, 1948.Tolstov, G. P. Fourier Series. New York: Dover, 1976.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Walker, J. S. Fast Fourier Transforms, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 1996.Weisstein, E. W. "Books about Fourier Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/FourierTransforms.html.

在 Wolfram|Alpha 中引用

傅里叶变换

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "傅里叶变换。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FourierTransform.html

主题分类