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哈特利变换

哈特利变换是一种积分变换，它与傅里叶变换有一些共同的特点，但在最常见的约定中，它将积分核乘以

cas(2pinut)=cos(2pinut)+sin(2pinut)
(1)

而不是乘以 e^(-2piift)，得到变换对

H(f)=int_(-infty)^inftyV(t)cas(2pift)dt
(2)
V(t)=int_(-infty)^inftyH(f)cas(2pift)df
(3)

(Bracewell 1986, 第 10 页, Bracewell 1999, 第 179 页)。

哈特利变换对于实数输入产生实数输出，并且是其自身的逆变换。因此，它可能比离散傅里叶变换具有计算优势，尽管哈特利变换的解析表达式通常更复杂。

在离散情况下，核乘以

cos((2pikn)/N)+sin((2pikn)/N)
(4)

而不是

e^(-2piikn/N)=cos((2pikn)/N)-isin((2pikn)/N).
(5)

哈特利变换的离散版本——使用另一种约定，其中加号被减号正弦代替——可以显式地写成

H[a]=1/(sqrt(N))sum_(n=0)^(N-1)a_n[cos((2pikn)/N)-sin((2pikn)/N)]
(6)
=RF[a]-IF[a],
(7)

其中 F 表示傅里叶变换。哈特利变换服从卷积性质

H[a*b]_k=1/2(A_kB_k-A^__kB^__k+A_kB^__k+A^__kB_k),
(8)

其中

a^__0=a_0
(9)
a^__(n/2)=a_(n/2)
(10)
a^__k=a_(n-k).
(11)

像快速傅里叶变换一样，哈特利变换也有一个“快速”版本。一种时间抽取算法利用了

H_n^(left)[a]=H_(n/2)[a^(even)]+XH_(n/2)[a^(odd)]
(12)
H_n^(right)[a]=H_(n/2)[a^(even)]-XH_(n/2)[a^(odd)],
(13)

其中 X 表示元素为以下内容的序列

a_ncos((pin)/N)-a^__nsin((pin)/N).
(14)

一种频率抽取算法利用了

H_n^(even)[a]=H_(n/2)[a^(left)+a^(right)]
(15)
H_n^(odd)[a]=H_(n/2)[X(a^(left)-a^(right))].
(16)

离散傅里叶变换

A_k=F[a]=sum_(n=0)^(N-1)e^(-2piikn/N)a_n
(17)

可以写成

[A_k; A_(-k)]=sum_(n=0)^(N-1)[e^(-2piikn/N) 0; 0 e^(2piikn/N)]_()_(F)[a_n; a_n]
(18)
=sum_(n=0)^(N-1)1/2[1-i 1+i; 1+i 1-i]_()_(T^(-1))[cos((2pikn)/N) sin((2pikn)/N); -sin((2pikn)/N) cos((2pikn)/N)]_()_(H)1/2[1+i 1-i; 1-i 1+i]_()_(T)[a_n; a_n],
(19)

因此

F=T^(-1)HT.
(20)

另请参阅

离散傅里叶变换, 快速傅里叶变换, 傅里叶变换

使用 探索

参考文献

Arndt, J. “哈特利变换 (HT)。” “关于 FFT 算法的评论” 中的第 2 章。 http://www.jjj.de/fxt/。Bracewell, R. N. 傅里叶变换及其应用，第 3 版。纽约：McGraw-Hill，1999。Bracewell, R. N. 哈特利变换。纽约：牛津大学出版社，1986。

在 中被引用

哈特利变换

请引用为

Weisstein, Eric W. “哈特利变换。” 来自 —— 资源。 https://mathworld.net.cn/HartleyTransform.html

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