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Parseval 定理

如果一个函数有傅里叶级数，表示为

f(x)=1/2a_0+sum_(n=1)^inftya_ncos(nx)+sum_(n=1)^inftyb_nsin(nx),
(1)

那么 贝塞尔不等式 变为等式，称为 Parseval 定理。从 (1),

[f(x)]^2=1/4a_0^2+a_0sum_(n=1)^infty[a_ncos(nx)+b_nsin(nx)]+sum_(n=1)^inftysum_(m=1)^infty[a_na_mcos(nx)cos(mx)+a_nb_mcos(nx)sin(mx)+a_mb_nsin(nx)cos(mx)+b_nb_msin(nx)sin(mx)].
(2)

积分

int_(-pi)^pi[f(x)]^2dx=1/4a_0^2int_(-pi)^pidx+a_0int_(-pi)^pisum_(n=1)^infty[a_ncos(nx)+b_nsin(nx)]dx+int_(-pi)^pisum_(n=1)^inftysum_(m=1)^infty[a_na_mcos(nx)cos(mx)+a_nb_mcos(nx)sin(mx)+a_mb_nsin(nx)cos(mx)+b_nb_msin(nx)sin(mx)]dx =1/4a_0^2(2pi)+0+sum_(n=1)^inftysum_(m=1)^infty[a_na_mpidelta_(nm)+0+0+b_nb_mpidelta_(nm)],
(3)

因此

1/piint_(-pi)^pi[f(x)]^2dx=1/2a_0^2+sum_(n=1)^infty(a_n^2+b_n^2).
(4)

对于 完备正交系 {phi_i}_(i=1)^infty 的 广义傅里叶级数，也存在类似的 relationship。

对于复数 傅里叶级数，

1/(2pi)int_(-pi)^pi|f(x)|^2dx=sum_(n=-infty)^infty|a_n|^2.
(5)

另请参阅

贝塞尔不等式, 完备正交系, 傅里叶级数, 广义傅里叶级数, 普朗歇尔定理, 功率谱

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参考文献

Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 积分表、级数和乘积，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, p. 1101, 2000.Kaplan, W. 高等微积分，第 4 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, p. 501, 1992.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Parseval 定理

请引用为

Weisstein, Eric W. "Parseval 定理。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ParsevalsTheorem.html

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