离散傅里叶变换

连续傅里叶变换定义为

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现在考虑推广到离散函数的情况， 通过令 ，其中 ，其中 , ..., 。写出来得到离散傅里叶变换 为

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逆变换 然后是

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离散傅里叶变换 (DFT) 非常有用，因为它们揭示了输入数据中的周期性以及任何周期性成分的相对强度。然而，在解释离散傅里叶变换时存在一些微妙之处。一般来说，实数序列的离散傅里叶变换将是相同长度的复数序列。特别地，如果 是实数，那么 和 通过下式相关

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对于 , 1, ..., ，其中 表示复共轭。这意味着对于实数数据，分量 始终是实数。

由于上述关系，周期函数将在两个位置而不是一个位置包含变换后的峰值。发生这种情况是因为输入数据的周期被分成“正”和“负”频率复数分量。

快速傅里叶变换是一种特别高效的算法，用于执行包含特定点数的样本的离散傅里叶变换。

可能影响离散傅里叶变换的两种主要误差类型是：混叠和泄漏。

上面的图显示了函数 （左图）和 （右图）在两个周期内采样 50 次的离散傅里叶变换的实部（红色）、虚部（蓝色）和复模（绿色）。在左图中，左侧和右侧的对称尖峰是单个正弦波的“正”和“负”频率分量。类似地，在右图中，有两对尖峰，较大的绿色尖峰对应于较低频率的较强分量 ，较小的绿色尖峰对应于较高频率的较弱分量。离散傅里叶变换的复模的适当缩放图通常称为功率谱。

Wolfram 语言为复数列表 实现了离散傅里叶变换，如下所示Fourier[list]。

离散傅里叶变换是Z 变换的一个特例。

可以使用快速傅里叶变换有效地计算离散傅里叶变换。

在离散傅里叶变换的指数中添加一个额外的因子 得到所谓的（线性）分数傅里叶变换。

离散傅里叶变换也可以推广到二维和更多维度。例如，上面的图显示了函数 的二维离散傅里叶变换的复模。