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卷积

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卷积是一个积分，表示一个函数 g 在另一个函数 f 上滑动时，它们之间的重叠量。因此，它将一个函数与另一个函数“混合”。例如，在合成成像中，测量的脏图是“真实” CLEAN 图与脏束（采样分布的 傅里叶变换）的卷积。卷积有时也以其德语名称 faltung（“折叠”）而闻名。

卷积在 Wolfram 语言 中实现为Convolve[f, g, x, y] 和DiscreteConvolve[f, g, n, m]。

抽象地说，卷积定义为函数 f 和 g 的乘积，它们是 R^n 中 Schwartz 函数代数中的对象。两个函数 f 和 g 在有限范围 [0,t] 上的卷积由下式给出

[f*g](t)=int_0^tf(tau)g(t-tau)dtau,
(1)

其中符号 [f*g](t) 表示 f 和 g 的卷积。

卷积更常在无限范围内进行，

f*g=int_(-infty)^inftyf(tau)g(t-tau)dtau
(2)
=int_(-infty)^inftyg(tau)f(t-tau)dtau
(3)

(Bracewell 1965, p. 25) 变量（在本例中为 t）是隐含的，有时也写成 f tensor g。

Convolution of two rectangle functions
Convolution of two Gaussian functions

上面的动画以图形方式说明了两个 矩形函数（左）和两个 高斯函数（右）的卷积。在图中，绿线显示了蓝色和红色曲线的卷积，作为 t 的函数，位置由垂直绿线指示。灰色区域表示乘积 g(tau)f(t-tau) 作为 t 的函数，因此其面积作为 t 的函数正是卷积。需要强调的一个特征，并且这些图示没有表达出来（因为它们都专门涉及对称函数）是函数 g 必须在将其在 f 上滞后并积分之前进行镜像。

两个 矩形函数 f=Pi_(t_1,t_2)(t) 和 g=Pi_(u_1,u_2)(t) 的卷积具有特别简单的形式

f*g=[(t-t_1-u_1)H(t-t_1-u_1)-(t-t_2-u_1)H(t-t_2-u_1) -(t-t_1-u_2)H(t-t_1-u_2)+(t-t_2-u_2)H(t-t_2-u_2)],
(4)

其中 H(x) 是 Heaviside 阶跃函数。更令人惊讶的是，两个高斯函数的卷积

f=e^(-(t-mu_1)^2/(2sigma_1^2))/(sigma_1sqrt(2pi))
(5)
g=e^(-(t-mu_2)^2/(2sigma_2^2))/(sigma_2sqrt(2pi))
(6)

是另一个高斯函数

f*g=1/(sqrt(2pi(sigma_1^2+sigma_2^2)))e^(-[t-(mu_1+mu_2)]^2/[2(sigma_1^2+sigma_2^2)]).
(7)

设 f、g 和 h 为任意函数，a 为常数。卷积满足以下性质

f*g=g*f
(8)
f*(g*h)=(f*g)*h
(9)
f*(g+h)=(f*g)+(f*h)
(10)

(Bracewell 1965, p. 27)，以及

a(f*g)=(af)*g
(11)
=f*(ag)
(12)

(Bracewell 1965, p. 49)。

对卷积求导得到

(f*g)^'=f^'*g
(13)
=f*g^'
(14)

(Bracewell 1965, p. 119)。

卷积下的面积是因子下方面积的乘积，

int_(-infty)^infty(f*g)dt=int_(-infty)^infty[int_(-infty)^inftyf(u)g(t-u)du]dt
(15)
=int_(-infty)^inftyf(u)[int_(-infty)^inftyg(t-u)dt]du
(16)
=[int_(-infty)^inftyf(u)du][int_(-infty)^inftyg(t)dt].
(17)

卷积的水平函数质心相加

<t>_(f*g)=<t>_f+<t>_g,
(18)

并且如果 f 或 g 的函数质心位于其原点，则方差也一样

<t^2>_(f*g)=<t^2>_f+<t^2>_g
(19)

(Bracewell 1965, p. 142)，其中

<t^n>_f=(int_(-infty)^inftyt^nf(t)dt)/(int_(-infty)^inftyf(t)dt).
(20)

在概率论中，卷积还有另一个定义，由下式给出

F(t)*G(t)=intF(t-x)dG(x),
(21)

其中 intF(t-x)dG(x) 是 Stieltjes 积分。

另请参阅

自相关, 柯西乘积, 卷积定理, 互相关, 循环图, 维纳-辛钦定理 在 课堂中探索这个主题

使用 探索

参考文献

Bracewell, R. "Convolution" and "Two-Dimensional Convolution." Ch. 3 in The Fourier Transform and Its Applications. New York: McGraw-Hill, pp. 25-50 and 243-244, 1965.Hirschman, I. I. and Widder, D. V. The Convolution Transform. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1955.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 464-465, 1953.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Convolution and Deconvolution Using the FFT." §13.1 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 531-537, 1992.Weisstein, E. W. "Books about Convolution." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/Convolution.html.

在 中引用

卷积

请引用为

Weisstein, Eric W. “卷积。” 来自 —— 资源。 https://mathworld.net.cn/Convolution.html

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