方差

对于具有分布 且已知 总体均值 的单个 变量 ，总体方差 ，通常也写作 ，定义为

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其中 是总体均值，而 表示 的 期望值。对于具有 个可能值 的 离散分布，总体方差因此为

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而对于 连续分布，它由下式给出

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因此，方差等于第二个 中心矩 。

请注意，在将 解释为方差时，需要谨慎，因为符号 也常被用作与方差的平方根相关但不等同的参数，例如在对数正态分布、麦克斯韦分布和瑞利分布中。

如果基础分布未知，则可以计算样本方差为

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其中 是样本均值。

请注意，上面定义的样本方差 不是 总体方差 的无偏估计量。为了获得 的无偏估计量，有必要改为定义“偏差校正样本方差”

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和 之间的区别是常见的混淆来源，在查阅文献以确定使用哪种约定，特别是当不明确的符号 通常用于两者时，应格外小心。数据列表的偏差校正样本方差 实现为方差[列表]。

方差的平方根称为标准差。

给出总体方差的有偏估计量的原因是，实际上是从数据本身估计了两个自由参数 和 。在这种情况下，使用 Student's t 分布 而不是 正态分布 作为模型是合适的，因为，非常笼统地说，Student's t 分布是在不知道 的情况下可以做到的“最佳”选择。

形式上，为了从先验未知 均值（即均值是从样本本身估计的）的 个元素的样本中估计总体方差 ，我们需要 的无偏估计量。这由 k 统计量 给出，其中

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而 是未针对偏差校正的样本方差。

事实证明，量 具有 卡方分布。

对于数据集 ，通过线性变换获得的数据的方差由下式给出

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对于多个变量，方差使用协方差的定义给出，

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线性求和具有类似的形式

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这些方程可以使用协方差矩阵表示。