傅里叶级数

傅里叶级数是将周期函数 展开为无穷正弦和余弦和的形式。傅里叶级数利用了正交性 正弦和余弦函数的关系。傅里叶级数的计算和研究被称为调和分析，并且非常有用，可以将任意周期函数分解为一组简单的项，这些项可以代入，单独求解，然后再组合以获得原始问题的解，或者在所需的或实际可行的精度下获得其近似解。上面展示了使用傅里叶级数对常见函数进行逐次逼近的示例。

特别地，由于叠加原理适用于线性齐次常微分方程的解，如果这种方程可以在单个正弦曲线的情况下求解，那么任意函数的解就可以立即获得，通过将原始函数表示为傅里叶级数，然后代入每个正弦分量的解。在某些特殊情况下，如果傅里叶级数可以求和为闭合形式，则这种技术甚至可以产生解析解。

任何构成完备正交函数系的函数集都有一个对应的广义傅里叶级数，类似于傅里叶级数。例如，使用第一类贝塞尔函数根的正交性可以得到所谓的傅里叶-贝塞尔级数。

（通常）傅里叶级数的计算基于积分恒等式

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对于 , 其中 是克罗内克 delta。

使用广义傅里叶级数的方法，通过取 和 可以得到涉及正弦和余弦的通常傅里叶级数。由于这些函数在 上构成完备正交函数系，因此函数 的傅里叶级数由下式给出

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其中

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和 , 2, 3, .... 请注意，常数项 的系数已以特殊形式编写，与广义傅里叶级数的一般形式相比，目的是为了保持与 和 定义的对称性。

傅里叶余弦系数 和正弦系数 在 Wolfram 语言 中实现为FourierCosCoefficient[expr, t, n] 和FourierSinCoefficient[expr, t, n]， 分别。

傅里叶级数收敛到函数 （在连续点等于原始函数，在不连续点等于两个极限的平均值）

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如果函数满足所谓的狄利克雷边界条件。迪尼判别法给出了傅里叶级数收敛的条件。

因此，在不连续点附近，可能会出现一种称为吉布斯现象的“振铃”，如上图所示。

对于在区间 上而不是 上周期性的函数 ，可以使用简单的变量替换将积分区间从 变换到 。令

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解出 得到 ，代入得到

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因此，

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类似地，如果函数改为定义在区间 上，则上述方程简单地变为

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事实上，对于周期为 的周期函数 ，可以使用任何区间 ，选择取决于方便性或个人偏好 (Arfken 1985, p. 769)。

一些常见函数的傅里叶级数展开的系数在 Beyer (1987, pp. 411-412) 和 Byerly (1959, p. 51) 中给出。通常用这种技术分析的最常见的函数之一是方波。下表总结了一些常见函数的傅里叶级数。

函数		傅里叶级数
傅里叶级数--锯齿波
傅里叶级数--方波
傅里叶级数--三角波

如果一个函数是偶函数，即 ，那么 是奇函数。（这是因为 是奇函数，而偶函数乘以奇函数是奇函数。）因此，对于所有 ，。类似地，如果一个函数是奇函数，即 ，那么 是奇函数。（这是因为 是偶函数，而偶函数乘以奇函数是奇函数。）因此，对于所有 ，。

傅里叶级数的概念也可以扩展到复数系数。考虑一个实值函数 。写成

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现在考察

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因此

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系数可以用傅里叶级数中的系数来表示

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对于在 中周期性的函数，这些变为

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这些方程是极其重要的傅里叶变换的基础，傅里叶变换是通过在长度 时将 从离散变量转换为连续变量而获得的。

复傅里叶系数在 Wolfram 语言 中实现为FourierCoefficient[expr, t, n]。