主题
Search

傅里叶变换——反函数

傅里叶变换 广义函数 1/x 由下式给出

F_x(-PV1/(pix))(k)=-1/piPVint_(-infty)^infty(e^(-2piikx))/xdx
(1)
=PVint_(-infty)^infty(cos(2pikx)-isin(2pikx))/xdx
(2)
={-(2i)/piint_0^infty(sin(2pikx))/xdx for k<0; (2i)/piint_0^infty(sin(2pikx))/xdx for k>0
(3)
={-i for k<0; i for k>0,
(4)

其中 PV 表示 柯西主值。方程 (4) 也可以写成单个方程

F_x(-PV1/(pix))(k)=i[1-2H(-k)],
(5)

其中 H(x) 是 Heaviside 阶跃函数。这些积分源于恒等式

int_0^infty(sin(2pikx))/xdx=int_0^infty(sin(2pikx))/(2pikx)d(2pikx)
(6)
=int_0^inftysinc(z)dz
(7)
=1/2pi.
(8)

另请参阅

傅里叶变换

使用 Wolfram|Alpha 探索

请引用为

Weisstein, Eric W. "傅里叶变换——反函数。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/FourierTransformInverseFunction.html

学科分类