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绝对值的平方

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一个复数 z 的绝对值的平方，也称为平方范数，定义为

|z|^2=zz^_,
(1)

其中 z^_ 表示 z 的复共轭，而 |z| 是复模量。

如果复数写成 z=x+iy，其中 x 和 y 是实数，那么绝对值的平方可以写成

|x+iy|^2=x^2+y^2.
(2)

如果 z=x+0i 是一个实数，那么 (1) 简化为

|z|^2=x^2.
(3)

绝对值的平方可以使用 Wolfram 语言 命令根据 x 和 y 计算ComplexExpand[Abs[z]^2, TargetFunctions ->{Conjugate}].

一个涉及绝对值的平方的重要恒等式由下式给出

|a+/-be^(-idelta)|^2=(a+/-be^(-idelta))(a+/-be^(idelta))
(4)
=a^2+b^2+/-ab(e^(idelta)+e^(-idelta))
(5)
=a^2+b^2+/-2abcosdelta.
(6)

如果 a=1，那么 (6) 变为

|1+/-be^(-idelta)|^2=1+b^2+/-2bcosdelta
(7)
=(1+/-b)^2∓4bsin^2(1/2delta).
(8)

如果 a=1，且 b=1，那么

|1-e^(-idelta)|^2=4sin^2(1/2delta).
(9)

最后，

|e^(iphi_1)+e^(iphi_2)|^2=(e^(iphi_1)+e^(iphi_2))(e^(-iphi_1)+e^(-iphi_2))
(10)
=2[1+cos(phi_2-phi_1)]
(11)
=4cos^2[1/2(phi_2-phi_1)].
(12)

另请参阅

复角, 复模量, 复数, 虚部, 实部, 符号

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请引用为

Weisstein, Eric W. "绝对值的平方。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AbsoluteSquare.html

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