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傅里叶变换--指数函数

傅里叶变换 e^(-k_0|x|) 由下式给出

F_x[e^(-k_0|x|)](k)=int_(-infty)^inftye^(-k_0|x|)e^(-2piikx)dx=int_(-infty)^0e^(-2piikx)e^(2pixk_0)dx+int_0^inftye^(-2piikx)e^(-2pik_0x)dx
(1)
=int_(-infty)^0[cos(2pikx)-isin(2pikx)]e^(2pik_0x)dx+int_0^infty[cos(2pikx)-isin(2pikx)]e^(-2pik_0x)dx.
(2)

现在令 u=-x 那么 du=-dx，则

F_x[e^(-k_0|x|)](k) =int_0^infty[cos(2piku)+isin(2piku)]e^(-2pik_0u)du +int_0^infty[cos(2piku)-isin(2piku)]e^(-2pik_0u)du =2int_0^inftycos(2piku)e^(-2pik_0u)du,
(3)

根据 阻尼指数余弦积分，得到

F_x[e^(-2pik_0|x|)](k)=1/pi(k_0)/(k^2+k_0^2),
(4)

这是一个 洛伦兹函数。

另请参阅

阻尼指数余弦积分, 指数函数, 傅里叶变换, 洛伦兹函数

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请按如下方式引用

Weisstein, Eric W. “傅里叶变换--指数函数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FourierTransformExponentialFunction.html

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