自相关

设 为一个 周期序列，则该序列的自相关，有时也称为周期自相关（Zwillinger 1995, p. 223），是序列

(1)

其中 表示 复共轭，且最终下标被理解为取模 。

类似地，对于周期性数组 ，其中 且 ，自相关是由 维矩阵给出：

(2)

其中，最终下标被理解为分别取模 和 。

对于复函数 ，自相关定义为

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其中 表示 互相关，而 是 复共轭 (Bracewell 1965, pp. 40-41)。

注意到符号 有时用于表示 ，并且该量

(5)

有时也被称为连续实函数 的自相关 (Papoulis 1962, p. 241)。

自相关会丢弃相位信息，仅返回功率，因此是不可逆操作。

自相关和 傅里叶变换 之间还存在一个有些令人惊讶且极其重要的关系，称为 维纳-辛钦定理。设 ，且 表示 的 复共轭，则 绝对平方 的 傅里叶变换 由下式给出：

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在 原点 处达到 最大值；换句话说，

(7)

为了理解这一点，设 为一个 实数。那么

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定义

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然后代入上述式子，我们得到 。这个 二次方程 没有 实数 根，所以 ，即 。由此可得

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等号在 处成立。这证明了 在 原点 处达到 最大值。