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Stieltjes 常数

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将 黎曼 zeta 函数 在 z=1 附近展开得到

zeta(z)=1/(z-1)+sum_(n=0)^infty((-1)^n)/(n!)gamma_n(z-1)^n
(1)

(Havil 2003, p. 118), 其中常数

gamma_n=lim_(m->infty)[sum_(k=1)^m((lnk)^n)/k-((lnm)^(n+1))/(n+1)]
(2)

被称为 Stieltjes 常数。

另一个可以用来定义这些常数的和是

zeta(z+1)-1/z=sum_(k=0)^infty((-1)^kgamma_kz^k)/(k!).
(3)

这些常数由 Wolfram 语言 函数返回StieltjesGamma[n]。

一个推广 gamma_n(a) 将 gamma_n(a)/n! 作为 (1-s)^n 的系数，是 洛朗级数 的 赫尔维茨 zeta 函数 zeta(s,a) 在 s=1 附近的展开。这些广义 Stieltjes 常数在 Wolfram 语言 中实现为StieltjesGamma[n, a]。

当 n=0 时，给出通常的 欧拉-马歇罗尼常数

gamma_0=gamma.
(4)

一个 gamma_1 的极限公式由下式给出

gamma_1=-lim_(y->infty)y{y+I[zeta(1+i/y)]},
(5)

其中 I[z] 是 虚部，zeta(z) 是 黎曼 zeta 函数。

另一种定义是通过吸收 gamma_n 的系数到常数中，

gamma_n^'=((-1)^n)/(n!)gamma_n
(6)

(例如，Hardy 1912, Kluyver 1927)。

Stieltjes 常数也由下式给出

gamma_n=lim_(z->1)[(-1)^nzeta^((n))(z)-(n!)/((z-1)^(n+1))].
(7)
StieltjesGamma
StieltjesGammaLog

上面说明了 Stieltjes 常数的值作为 n 的函数的图 (Kreminski)。下表给出了前几个数值。

nOEISgamma_n
0A0016200.5772156649
1A082633-0.07281584548
2A086279-0.009690363192
3A0862800.002053834420
4A0862810.002325370065
5A0862820.0007933238173
StieltjesGammaSignRuns

Briggs (1955-1956) 证明了对于每个 符号，都有无穷多个 gamma_n。对于 gamma_n，当 n=0, 1, ... 时的符号为 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, ... (OEIS A114523)，并且连续符号的游程长度为 1, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 5, 5, ... (OEIS A114524)。上面显示了游程长度的图。

Berndt (1972) 给出了上限

|gamma_n|<{(4(n-1)!)/(pi^n) for n even; (2(n-1)!)/(pi^n) for n odd.
(8)

然而，这些界限非常弱。一个更强的界限由下式给出

|gamma_n|<10^(-4)e^(nlnlnn)
(9)

对于 n>4 (Matsuoka 1985)。

Vacca (1910) 证明了 欧拉-马歇罗尼常数 可以表示为

gamma=sum_(k=1)^infty((-1)^k)/k|_lgk_|,
(10)

其中 |_x_| 是 向下取整函数，lg 函数 lgx=log_2x 是以 2 为底的 对数。Hardy (1912) 从 Vacca 的表达式中推导出了 公式

gamma_1=1/6(ln2)^2-1/2gammaln2+1/(2ln2)sum_(k=1)^infty((-1)^k(lnk)^2)/k
(11)

从 Vacca 的表达式中。

Kluyver (1927) 给出了类似于 gamma_n 的级数，对所有 n>1 都有效，

gamma_n=n!(ln2)^nsum_(m=1)^(n+1)((-1)^(m-1))/(m!)sum_(k=1)^infty((-1)^k|_lgk_|^mB_(1+n-m)(lgk))/k,
(12)

其中 B_n(x) 是 伯努利多项式。然而，这个级数收敛极慢，需要超过 10^4 项才能得到 gamma_1 的两位数字，而更高阶的 gamma_n 需要更多项。

gamma_n 也可以用单个和来表示，使用

gamma_n=((ln2)^n)/(n+1)sum_(k=1)^infty((-1)^k)/kB_(n+1)(lgk).
(13)

gamma_1 也出现在和的渐近展开中

sum_(n=1)^x1/nln(x/n)=1/2(lnx)^2+gammalnx-gamma_1+O(x^(-1)),
(14)

其中 gamma_1 被称为 -D，并且被 Ellision 和 Mendès-France (1975) 错误地给出 (并且该错误随后被 Le Lionnais 1983, p. 47 再现)。(14) 的确切形式由下式给出

sum_(n=1)^x1/nln(x/n)=H_xlnx+gamma_1(x+1)-gamma_1,
(15)

其中 H_x 是 调和数，gamma_n(a) 是广义 Stieltjes 常数。

一组与 gamma_n 相关的常数是

delta_n=lim_(m->infty)[sum_(k=1)^m(lnk)^n-int_1^m(lnx)^ndx-1/2(lnm)^n]
(16)

(Sitaramachandrarao 1986, Lehmer 1988)。

Stieltjes 常数也满足以下优美的和

sum_(k=0)^infty(gamma_(k+n))/(k!)=(-1)^n[n!+zeta^((n))(0)]
(17)

(O. Marichev, 私人通信, 2008)。

参见

伯努利多项式, 欧拉-马歇罗尼常数, 欧拉乘积, 黎曼 Zeta 函数

相关 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/StieltjesGamma/

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参考文献

Berndt, B. C. "On the Hurwitz Zeta-Function." Rocky Mountain J. Math. 2, 151-157, 1972.Bohman, J. and Fröberg, C.-E. "The Stieltjes Function--Definitions and Properties." Math. Comput. 51, 281-289, 1988.Briggs, W. E. "Some Constants Associated with the Riemann Zeta-Function." Mich. Math. J. 3, 117-121, 1955-1956.Coffey, M. W. "New Results on the Stieltjes Constants: Asymptotic and Exact Evaluation." J. Math. Anal. Appl. 317, 603-612, 2006.Coffey, M. W. "New Summation Relations for the Stieltjes Constants." Proc. Roy. Soc. A 462, 2563-2573, 2006.Ellison, W. J. and Mendès-France, M. Les nombres premiers. Paris: Hermann, 1975.Finch, S. R. "Stieltjes Constants." §2.21 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 166-171, 2003.Hardy, G. H. "Note on Dr. Vacca's Series for gamma." Quart. J. Pure Appl. Math. 43, 215-216, 1912.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "The Behavior of zeta(s) when s->1." §17.3 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 246-247, 1979.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Kluyver, J. C. "On Certain Series of Mr. Hardy." Quart. J. Pure Appl. Math. 50, 185-192, 1927.Knopfmacher, J. "Generalised Euler Constants." Proc. Edinburgh Math. Soc. 21, 25-32, 1978.Kreminski, R. "Newton-Cotes Integration for Approximating Stieltjes (Generalized Euler) Constants." Math. Comput. 72, 1379-1397, 2003.Kreminski, R. "This Site Will Archive Some Stieltjes-Related Computational Work..." http://www.tamu-commerce.edu/math/FACULTY/KREMIN/stieltjesrelated/.Kreminski, R. "This Page Displays Work in Progress by Rick Kreminski." http://www.tamu-commerce.edu/math/FACULTY/KREMIN/stieltjes/stieltjestestpage.html.Kreminski, R. "Gammas 1 to 12 to 6900 Digits." http://www.tamu-commerce.edu/math/FACULTY/KREMIN/stieltjesrelated/gammas1to12/.Lammel, E. "Ein Beweis dass die Riemannsche Zetafunktion zeta(s) is |s-1|<=1 keine Nullstelle besitzt." Univ. Nac. Tucmán Rev. Ser. A 16, 209-217, 1966.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 47, 1983.Lehmer, D. H. "The Sum of Like Powers of the Zeros of the Riemann Zeta Function." Math. Comput. 50, 265-273, 1988.Liang, J. J. Y. and Todd, J. "The Stieltjes Constants." J. Res. Nat. Bur. Standards--Math. Sci. 76B, 161-178, 1972.Matsuoka, Y. "Generalized Euler Constants Associated with the Riemann Zeta Function." In Number Theory and Combinatorics. Japan 1984 (Tokyo, Okayama and Kyoto, 1984). Singapore: World Scientific, pp. 279-295, 1985.Plouffe, S. "Stieltjes Constants from 0 to 78, to 256 Digits Each." http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/stieltjesgamma.txt.Sitaramachandrarao, R. "Maclaurin Coefficients of the Riemann Zeta Function." Abstracts Amer. Math. Soc. 7, 280, 1986.Sloane, N. J. A. Sequences A001620/M3755, A082633, A086279, A086280, A086281, A086282, A114523, and A114524 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Vacca, G. "A New Series for the Eulerian Constant." Quart. J. Pure Appl. Math. 41, 363-368, 1910.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Stieltjes 常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Stieltjes 常数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/StieltjesConstants.html

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