哈吉科斯塔斯公式

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哈吉科斯塔斯公式是单位正方形二重积分的推广

(1)

(Sondow 2003, 2005; Borwein 等人 2004, p. 49)，其中是欧拉-马歇罗尼常数。它指出

int_0^1int_0^1(1-x)/(1-xy)[-ln(xy)]^sdxdy
=Gamma(s+2)[zeta(s+2)-1/(s+1)]

(2)

对于，其中是伽玛函数，是黎曼zeta函数（虽然必须注意，因为那里存在可去奇点）。它由 Hadjicostas (2004) 猜想提出，并几乎立即被 Chapman (2004) 证明。特殊情况给出了 Beukers 的积分，

(3)

(Beukers 1979)。当时，该公式与 Beukers 的 Apéry 常数积分有关，这就是最初引起人们对这类积分兴趣的原因。

存在一个类似的公式

int_0^1int_0^1(1-x)/(1+xy)[-ln(xy)]^sdxdy
=Gamma(s+2)[eta(s+2)+(1-2eta(s+1))/(s+1)]

(4)

对于，由 Sondow (2005) 提出，其中是狄利克雷eta函数。这包括特殊情况

			(5)
			(6)
			(7)

(OEIS A094640; Sondow 2005) 和

			(8)
			(9)

(OEIS A103130)，其中是 Glaisher-Kinkelin 常数 (Sondow 2005)。

参见

Apéry 常数, 欧拉-马歇罗尼常数, 黎曼 Zeta 函数 zeta(2), 单位正方形积分

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更多尝试

参考文献

Beukers, F. "A Note on the Irrationality of

and

." Bull. London Math. Soc. 11, 268-272, 1979.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. 数学实验：计算发现之路。 Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Chapman, R. "A Proof of Hadjicostas's Conjecture." 15 Jun 2004. http://arxiv.org/abs/math/0405478.Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Hadjicostas, P. "A Conjecture-Generalization of Sondow's Formula." 21 May 2004. http://www.arxiv.org/abs/math.NT/0405423/.Sloane, N. J. A. Sequences A094640, A103130 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sondow, J. "Criteria for Irrationality of Euler's Constant." Proc. Amer. Math. Soc. 131, 3335-3344, 2003. http://arxiv.org/abs/math.NT/0209070.Sondow, J. "Double Integrals for Euler's Constant and

and an Analog of Hadjicostas's Formula." Amer. Math. Monthly 112, 61-65, 2005.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

哈吉科斯塔斯公式

引用此条目为

Weisstein, Eric W. "Hadjicostas's Formula." 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/HadjicostassFormula.html

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