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欧拉级数变换

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欧拉级数变换是一种有时会加速收敛速度的交替级数的变换。给定一个收敛的交替级数，其和为

S=sum_(k=0)^infty(-1)^ka_k,
(1)

Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 16) 将欧拉变换定义为

S=sum_(k=0)^infty((-1)^kDelta^ka_0)/(2^(k+1)),
(2)

其中 Delta 是前向差分算符

Delta^ka_0=sum_(m=0)^k(-1)^m(k; m)a_(k-m)
(3)

并且 (k; m) 是一个二项式系数。

Knopp (1990, p. 244) 提出的另一种形式将变换定义为

S=sum_(k=0)^infty(del ^ka_0)/(2^(k+1)),
(4)

其中 del 是后向差分算符

del ^ka_0=sum_(m=0)^k(-1)^m(k; m)a_m.
(5)

Knopp (1990, p. 263) 给出了应用变换后不同类型收敛行为的例子

sum_(n=0)^infty((-1)^n)/(2^n)=1/2sum_(n=0)^infty1/(4^n)
(6)

给出更快的收敛速度，

sum_(n=0)^infty((-1)^n)/(3^n)=1/2sum_(n=0)^infty1/(3^n)
(7)

给出相同的收敛速度，以及

sum_(n=0)^infty((-1)^n)/(4^n)=1/2sum_(n=0)^infty(3/8)^n
(8)

给出较慢的收敛速度。

为了理解欧拉变换的工作原理，考虑 Knopp 关于差分算符的约定并写出

S=u_0-u_1+u_2-...
(9)
=1/2u_0+1/2[(u_0-u_1)-(u_1-u_2)+(u_2-u_3)-...].
(10)

现在对括号中的级数重复此过程以获得

S=1/2u_0+1/4(u_0-u_1)+1/4[(u_0-2u_1+u_2)-(u_1-2u_2+u_3)+(u_2-2u_3+u_4)-...],
(11)

并继续到无穷大。这证明了推导过程中的每个有限步骤，尽管它实际上并没有证明最后一步，因为“继续到无穷大”涉及极限的使用。

参见

交替级数, 级数

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 16, 1972.Knopp, K. 无穷级数的理论与应用。 New York: Dover, 1990.

在 Wolfram|Alpha 上引用

欧拉级数变换

引用为

Weisstein, Eric W. “欧拉级数变换。” 来自 MathWorld—— Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EulersSeriesTransformation.html

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