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三角学角

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角 mpi/n (其中 m,n 是整数) 的 三角函数 可以用实数的有限开方来表示，这些角仅限于 m 的值，而这些值恰好产生可作图多边形。可以使用 Wolfram 语言 函数获得具有这种形式的自变量的三角函数的解析表达式ToRadicals，例如，ToRadicals[Sin[Pi/17]]，对于 n>=7 的值（对于 n<=6，三角函数在 Wolfram 语言 中自动求值）。

追溯到欧几里得的圆规和直尺作图能够内接边数为 3、4、5、6、8、10、12、16、20、24、32、40、48、64、... 的正多边形。然而，高斯在 1796 年（当时他 19 岁）表明，n 边正多边形可作图的充分条件是 n 是以下形式

n=2^kp_1p_2...p_s,
(1)

其中 k 是一个非负整数，而 p_i 是不同的费马素数。这里，费马素数是费马数，即形式为

F_n=2^(2^n)+1,
(2)

的素数，其中 n>=0 是一个整数，而这种形式的唯一已知素数是 3、5、17、257 和 65537。万策尔 (Wantzel) (1836) 首次证明了这个条件也是必要的。

正 n 边形可作图的必要和充分条件是 phi(n) 是 2 的幂，其中 phi(n) 是欧拉函数（Krížek等人2001 年，第 34 页）。

高斯 (Smith 1994) 给出了 n 对于 n<300 的可作图值，前几个是 1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、20、24、30、32、34、40、48、51、60、64、68、80、85、96、102、120、128、136、160、170、192、... (OEIS A003401)。

cos(2pi/n) 对于可作图多边形的代数次数是 1、1、1、1、2、1、2、2、2、4、4、8、4、4、4、8、... (OEIS A113401)，而 cos(pi/n) 的代数次数是 ... (OEIS A113402)。

PolygonConstructionTri

Gardner (1977) 和 Watkins (Conway 和 Guy 1996，Krížek等人2001 年) 独立地注意到，边数为奇数的可作图多边形的边数由谢尔宾斯基筛的前 32 行表示，解释为二进制数，给出 1、3、5、15、17、51、85、255、... (OEIS A004729，Conway 和 Guy 1996 年，第 140 页)。换句话说，每一行都是不同费马素数的乘积，项由二进制计数给出。

下面给出了自变量为 pi/n 且 n 为小整数的正弦、余弦和正切的解析值的部分表格。这些公式的推导出现在以下条目中。

x ( degrees)x (弧度)sinxcosxtanx
0.00010
15.01/(12)pi1/4(sqrt(6)-sqrt(2))1/4(sqrt(6)+sqrt(2))2-sqrt(3)
18.01/(10)pi1/4(sqrt(5)-1)1/4sqrt(10+2sqrt(5))1/5sqrt(25-10sqrt(5))
22.51/8pi1/2sqrt(2-sqrt(2))1/2sqrt(2+sqrt(2))sqrt(2)-1
30.01/6pi1/21/2sqrt(3)1/3sqrt(3)
36.01/5pi1/4sqrt(10-2sqrt(5))1/4(1+sqrt(5))sqrt(5-2sqrt(5))
45.01/4pi1/2sqrt(2)1/2sqrt(2)1
60.01/3pi1/2sqrt(3)1/2sqrt(3)
90.01/2pi10infty
180.0pi0-10

有一个很好的助记符来记住常用角的正弦值，

sin(0 degrees)=1/2sqrt(0)
(3)
sin(30 degrees)=1/2sqrt(1)
(4)
sin(45 degrees)=1/2sqrt(2)
(5)
sin(60 degrees)=1/2sqrt(3)
(6)
sin(90 degrees)=1/2sqrt(4).
(7)

一般来说，对于 rpi 形式的自变量，任何三角函数都可以用根式表示，其中 r=m/n 是一个有理数，通过将指数形式的三角函数和指数写成 -1 的根。例如，

cos(pi/(23))=-1/2(-1)^(22/23)[1+(-1)^(2/23)].
(8)

这证实了对于有理数 r，rpi 的三角函数始终是代数数。例如，n=7 和 n=9 的情况涉及三次方程（分别在 sin^2(pi/7) 和 sin^2(pi/9) 中）。可以使用 Wolfram 语言 使用以下语法获得给定表达式为其根的多项式RootReduce[ToRadicals[expr]]，它产生一个Root对象。

设 (P(x))_n 表示多项式 P(x) 的第 n 个根，在 Wolfram 语言 的排序中Root对象，下表总结了 sin(pi/n) 的前几个解析值。

nsin(pi/n)
10
21
31/2sqrt(3)
41/2sqrt(2)
5(16x^4-20x^2+5)_3
61/2
7(64x^6-112x^4+56x^2-7)_4
8(8x^4-8x^2+1)_3
9(64x^6-96x^4+36x^2-3)_4
101/4(sqrt(5)-1)

sin(pi/n) 的代数阶数由下式解析地给出

ord(sin(pi/n))={1 if n=2; phi(n) if n=0,1,3 (mod 4); 1/2phi(n) otherwise,
(9)

其中 phi(n) 是欧拉函数。对于 n=1、2、...，这给出了序列 1、1、2、2、4、1、6、4、6、2、10、4、... (OEIS A055035)。

sin(2pi/p) 对于 p 为奇素数的最小多项式由下式给出

S_p(x)=sum_(k=0)^((p-1)/2)(-1)^k(p; 2k+1)(1-x^2)^((p-1)/2-k)x^(2k)
(10)

(Beslin 和 de Angelis 2004 年)。

如果 n!=4 且 n=2^rm，则 sin(2pi/n) 的代数阶数由下式给出

ord(sin((2pi)/n))={phi(n) if r=0, 1; 1/4phi(n) if r=2; 1/2phi(n) if r>=3
(11)

(Ribenboim 1972 年，第 289 页；Beslin 和 de Angelis 2004 年)。这给出了序列 1、1、2、1、4、2、6、2、6、4、10、1、... (OEIS A093819)。

下表总结了 cos(pi/n) 的前几个解析值。

ncos(pi/n)
1-1
20
31/2
41/2sqrt(2)
51/4(1+sqrt(5))
61/2sqrt(3)
7(8x^3-4x^2-4x+1)_3
8(8x^4-8x^2+1)_4
9(8x^3-6x-1)_3
10(16x^4-20x^2+5)_4

cos(pi/n) 的代数阶数由下式解析地给出

ord(cos(pi/n))={1 if n=1; phi(n) if n=0 (mod 2); 1/2phi(n) if n=1 (mod 2),
(12)

其中 phi 是欧拉函数。对于 n=1、2、...，这给出了序列 1、1、1、2、2、2、3、4、3、4、5、4、6、... (OEIS A055034；Lehmer 1933 年，Watkins 和 Zeitlin 1993 年，Surowski 和 McCombs 2003 年)。

cos(2pi/n) 的代数阶数由下式解析地给出

ord(cos((2pi)/n))={1 if n=1 or 2; 1/2phi(n) if n>2
(13)

(Ribenboim 1972 年，第 289 页；Beslin 和 de Angelis 2004 年) 给出了序列 1、1、1、1、2、1、3、2、3、2、5、... (OEIS A023022)。

对于 cos(2pi/p) 且 p 为奇素数，可以给出最小多项式的显式公式，即

Psi(x)=sum_(i=0)^s(-1)^isigma_i(2x)^(s-i),
(14)

其中

s=1/2(p-1)
(15)
sigma_(2k)=(-1)^k(s-k; k)
(16)
sigma_(2k-1)=(-1)^k(s-k; k-1)
(17)

(Surowski 和 McCombs 2003 年；更正了 sigma_(2k-1) 定义中的符号)。Watkins 和 Zeitlin (1993 年) 表明

T_(s+1)(x)-T_s(x)=2^sproduct_(d|n)Psi(x)
(18)

对于奇数 n=2s+1，其中 T_n(x) 是第一类切比雪夫多项式，并且

T_(s+1)(x)-T_(s-1)(x)=2^sproduct_(d|n)Psi_d(x)
(19)

对于偶数 n=2s。

Beslin 和 de Angelis (2004 年) 给出了更简单的形式

C_p(x)=S_p(sqrt((1-x)/2)),
(20)

其中 S_p(x) 如上定义。

正如已经指出的，如果 n 是 2 的幂乘以不同费马素数的乘积，则可以获得用实自变量表示的根式的特殊类型的展开式。对于 n 的其他值，情况变得更加复杂。现在不再可能以它们表示为实根式的形式表示三角函数，但仍然存在某种最小表示。最简单的非平凡示例是 n=7。 “最小”的确切含义相当技术性，并且与某些分圆多项式的伽罗瓦子群有关（Weber 1996 年）。事实证明，对于素数 n，展开式特别有趣且困难，并且高阶伽罗瓦群计算既困难又耗时。例如，n=23 是一个非常困难的案例，需要很长时间才能计算。一些较大的素数又变得容易一些，但复杂度平均而言随着素数的大小而增长。

虽然单个三角函数可能需要在某些角度进行复杂的表示，但这些函数的乘积存在通用公式。例如，

product_(k=1)^(n)cos((kpi)/n)={0 if n=0 (mod 2); ((-1)^((n+1)/2))/(2^(n-1)) if n=1 (mod 2)
(21)
product_(k=1)^(n)sin((kpi)/n)=0
(22)
product_(k=1)^(|_n/2_|)cos((kpi)/n)={0 if n=0 (mod 2); 1/(2^((n-1)/2)) if n=1 (mod 2)
(23)
product_(k=1)^(|_n/2_|)sin((kpi)/n)=sqrt(n/(2^(n-1))).
(24)

因此，后者对于 n=1、2、... 的前几个值分别为 1、1、3/4、1/2、5/16、3/16、... (OEIS A000265 和 A084623)。另一个例子是莫里定律的一般情况，

2^kproduct_(j=0)^(k-1)cos(2^ja)=(sin(2^ka))/(sina).
(25)

参见

257 边形, 65537 边形, 可作图多边形, 分圆理论, 费马素数, 十七边形, 莫里定律, 五边形, 谢尔宾斯基筛, 三角学角--0, 三角学角 Pi, 三角学角--Pi/2, 三角学角--Pi/3, 三角学角--Pi/4, 三角学角--Pi/5, 三角学角--Pi/6, 三角学角--Pi/7, 三角学角--Pi/8, 三角学角--Pi/9, 三角学角--Pi/10, 三角学角--Pi/11, 三角学角--Pi/12, 三角学角--Pi/13, 三角学角--Pi/15, 三角学角--Pi/16, 三角学角--Pi/17, 三角学角--Pi/18, 三角学角--Pi/20, 三角学角--Pi/23, 三角学角--Pi/24, 三角学角--Pi/30, 三角学角--Pi/32, 单位圆

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参考文献

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三角学角

请引用为

Weisstein, Eric W. "三角学角。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TrigonometryAngles.html

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