角的三等分

角的三等分是将一个任意角分成三个相等的角。它是古代几何难题之一，人们试图仅用圆规和直尺找到解法。Wantzel (1836) 在代数上证明了这个问题是无解的。

虽然使用希腊作图法无法对一般角进行三等分，但对于某些特定的角，例如和弧度（分别为和），可以进行三等分。此外，一些角在几何上是可三等分的，但最初无法构造出来，例如（Honsberger 1991）。此外，使用有刻度的直尺（Neusis 作图法）可以完成任意角的三等分，如上图所示（Courant 和 Robbins 1996）。

也可以使用 Hippias 的割圆曲线或三等分曲线将一个角分成三个（或任意整数个）相等的部分。

Steinhaus 描述了一种近似三等分法（Wazewski 1945；Peterson 1983；Steinhaus 1999，第 7 页）。为了构造角度为，度量为的近似值，首先平分，然后三等分弦（上图左侧）。所需的近似值是角度为，度量为（上图右侧）。为了将与联系起来，在三角形和上使用正弦定理，得到

(1)

因此。由于我们也有，这可以写成

(2)

求解，得到

(3)

即使对于高达的角度，此近似值与的误差也在以内，如上图所示，并在下表（Petersen 1983）中进行了总结，其中角度以度为单位。

()	()	()	()
10	3.333333	3.333804	3.332393
20	6.666666	6.670437	6.659126
30	10.000000	10.012765	9.974470
40	13.333333	13.363727	13.272545
50	16.666667	16.726374	16.547252
60	20.000000	20.103909	19.792181
70	23.333333	23.499737	23.000526
80	26.666667	26.917511	26.164978
90	30.000000	30.361193	29.277613
99	33.000000	33.486234	32.027533

具有麦克劳林级数

(4)

（OEIS A158599 和 A158600），很容易看出它是的非常好的近似值。

另请参阅

角平分线, 阿基米德螺线, 化圆为方, 尼科梅德斯蚌线, 倍立方, 切瓦旋轮线, 麦克劳林三等分曲线, 莫雷定理, Neusis 作图法, 折纸, 皮尔庞特素数, Hippias 的割圆曲线, 战斧, 三等分曲线

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参考文献

Bogomolny, A. "Angle Trisection." http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/archi.shtml.Bogomolny, A. "Angle Trisection by Hippocrates." http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Hippocrates.html.Bold, B. "The Problem of Trisecting an Angle." Ch. 5 in Famous Problems of Geometry and How to Solve Them. New York: Dover, pp. 33-37, 1982.Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 190-191, 1996.Courant, R. and Robbins, H. "Trisecting the Angle." §3.3.3 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 137-138, 1996.Coxeter, H. S. M. "Angle Trisection." §2.2 in Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, p. 28, 1969.Dixon, R. Mathographics. New York: Dover, pp. 50-51, 1991.Dörrie, H. "Trisection of an Angle." §36 in 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover, pp. 172-177, 1965.Dudley, U. The Trisectors. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1994.Geometry Center. "Angle Trisection." http://www.geom.umn.edu:80/docs/forum/angtri/.Honsberger, R. More Mathematical Morsels. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 25-26, 1991.Klein, F. "The Delian Problem and the Trisection of the Angle." Ch. 2 in "Famous Problems of Elementary Geometry: The Duplication of the Cube, the Trisection of the Angle, and the Quadrature of the Circle." In Famous Problems and Other Monographs. New York: Chelsea, pp. 13-15, 1980.Loy, J. "Trisection of an Angle." http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm.Ogilvy, C. S. "Solution to Problem E 1153." Amer. Math. Monthly 62, 584, 1955. Ogilvy, C. S. "Angle Trisection." Excursions in Geometry. New York: Dover, pp. 135-141, 1990.Peterson, G. "Approximation to an Angle Trisection." Two-Year Coll. Math. J. 14, 166-167, 1983.Scudder, H. T. "How to Trisect and Angle with a Carpenter's Square." Amer. Math. Monthly 35, 250-251, 1928.Sloane, N. J. A. Sequences A158599 and A158600 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.Wantzel, M. L. "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas." J. Math. pures appliq. 1, 366-372, 1836.Wazewski, T. Ann. Soc. Polonaise Math. 18, 164, 1945.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 25, 1991.Yates, R. C. The Trisection Problem. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1971.

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "角的三等分。" 来源 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AngleTrisection.html